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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
hallo, ich bräuchte bei diesem Integral einen ansatz um die rechnung fortzuführen. ich habe schon versucht den unteren nenner mit [mm] (\wurzel{x}-2) [/mm] zu erweitern...bringt mir aber nichts.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 15.08.2009 | | Autor: | abakus |
> hallo, ich bräuchte bei diesem Integral einen ansatz um
> die rechnung fortzuführen. ich habe schon versucht den
> unteren nenner mit [mm](\wurzel{x}-2)[/mm] zu erweitern...bringt mir
> aber nichts.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
Hallo,
entweder du findest eine geeignete Substitution, oder du schreibst den Zähler in der Form (x-4)+4.
Der Bruch ist dann [mm] \wurzel{x}-2+\bruch{4}{\wurzel{x}+2}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
danke für dein tipp aber ich versteh es leider net.
also, ich erweitere den zähler mit +4-4,warum?das wäre dann,
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)+4}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
wie kommst du auf [mm] \wurzel{x}-2 [/mm] + [mm] \bruch{4}{\wurzel{x}+2}
[/mm]
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[mm] \bruch{(x-4)}{\wurzel{x}+2} [/mm]
was kommt denn da raus? (vll hilft dir die 3. binomische formel weiter: [mm] a^2-b^2=(a-b)(a+b)) [/mm]
und dann bleibt eben noch + [mm] \bruch{4}{\wurzel{x}+2} [/mm] über, was sich nicht mehr vereinfachen lässt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok,
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)+4}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)}{\wurzel{x}+2} dx} +\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
jetzt setze ich die 3.binomische formel ein,
= [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)(\wurzel{x}-2)}{(\wurzel{x}+2)(\wurzel{x}-2)} dx} +\integral_{a}^{b}{\bruch{4(\wurzel{x}-2)}{(\wurzel{x}+2)(\wurzel{x}-2)} dx}
[/mm]
verstehe ich das so richtig?stimmts soweit?
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Hallo Markus,
> ok,
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)+4}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)}{\wurzel{x}+2} dx} +\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
>
>
> jetzt setze ich die 3.binomische formel ein,
>
> =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x-4)(\wurzel{x}-2)}{(\wurzel{x}+2)(\wurzel{x}-2)} dx} +\integral_{a}^{b}{\bruch{4(\wurzel{x}-2)}{(\wurzel{x}+2)(\wurzel{x}-2)} dx}[/mm]
>
> verstehe ich das so richtig?stimmts soweit?
Ja, alles richtig, lasse aber die Grenzen weg, du willst ja die unbestimmten Integrale berechnen ...
Nun im ersten Integral den Nenner ausrechnen und dann großzügig kürzen.
Das hintere Integral, also [mm] $\int{\frac{4}{\sqrt{x}+2} \ dx}$ [/mm] würde ich aber nicht erweitern, sondern es mit der Substitution [mm] $u=u(x):=\sqrt{x}+2$ [/mm] verarzten ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok danke, dann folgt,
[mm] \integral{\bruch{(x-4)(\wurzel{x}-2)}{ (\wurzel{x}-2)(\wurzel{x}+2) }) dx} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{4}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\wurzel{x}-2 dx} [/mm] + [mm] 4\integral{\bruch{1}{\wurzel{x}+2} dx}
[/mm]
jetzt wird mir auch klar wieso mit +4-4 erweitert wird. kannst du mir tipps geben wie eine aufgabe auf dem ersten blick seh das z.b mit +4 -4 erweitert wird...weil ich nie auf die idee gekommen wäre.
[mm] dx=2\wurzel{x} [/mm] du
= [mm] \integral{u*2\wurzel{x} du } +4\integral{ \bruch{1}{u}*2\wurzel{x}du }
[/mm]
= [mm] 2\integral{u\wurzel{x} du } +8\integral{ \bruch{1}{u}\wurzel{x}du }
[/mm]
stimmt meine rechnung soweit, ich müsste dann produktintegration anwenden,stimmts?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
sorry,meine frage war nicht so verständlich. ich wollt wissen, wie ich eine aufgabe auf dem ersten blick seh, das ich die aufgabe zb. mit +4-4 erweiter. könntest du mir tipps geben weil ich nie auf die idee gekommen wäre mit +4 -4 zu erweitern.
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Hallo hamma,
> ok danke, dann folgt,
>
> [mm]\integral{\bruch{(x-4)(\wurzel{x}-2)}{ (\wurzel{x}-2)(\wurzel{x}+2) }) dx}[/mm]
> + [mm]\integral{\bruch{4}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral{\wurzel{x}-2 dx}[/mm] +
> [mm]4\integral{\bruch{1}{\wurzel{x}+2} dx}[/mm]
>
> jetzt wird mir auch klar wieso mit +4-4 erweitert wird.
> kannst du mir tipps geben wie eine aufgabe auf dem ersten
> blick seh das z.b mit +4 -4 erweitert wird...weil ich nie
> auf die idee gekommen wäre.
Nun, im Grunde erweiterst Du mit einer künstlichen Null,
die hier in Form von [mm]+4-4[/mm] geschrieben worden ist.
Die Erweiterung mit einer künstlichen Null kannst Du immer
dann machen, wenn die Rechnung dadurch einfacher wird.
>
> [mm]dx=2\wurzel{x}[/mm] du
>
> = [mm]\integral{u*2\wurzel{x} du } +4\integral{ \bruch{1}{u}*2\wurzel{x}du }[/mm]
>
> = [mm]2\integral{u\wurzel{x} du } +8\integral{ \bruch{1}{u}\wurzel{x}du }[/mm]
Jetzt ersetze noch [mm]\wurzel{x}[/mm] durch [mm]u-2[/mm].
Dann kannst Du fröhlich integrieren.
>
> stimmt meine rechnung soweit, ich müsste dann
> produktintegration anwenden,stimmts?
Hier reichen die einfachen Integrationsregeln,
wie z.B. die Integration einer Potenzfunktion.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 15.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok, danke mathe power.
aber wie erkenne ich, wann eine eine künstliche null einsetze? bei der aufgabe war es für mich schwer zu erkennen...ich denke, das man schon bissl erfahrung braucht um so was zu erkennen.
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Hallo hamma,
> ok, danke mathe power.
>
> aber wie erkenne ich, wann eine eine künstliche null
> einsetze? bei der aufgabe war es für mich schwer zu
Das kommt auf die Aufgabe darauf an.
> erkennen...ich denke, das man schon bissl erfahrung braucht
> um so was zu erkennen.
Nun, bei Funktionen der Bauart
[mm]\bruch{x+b}{x+c}, b,c \in \IR, c \not= 0 [/mm]
ist es am einfachsten.
Hier erweiterst Du den Zähler um [mm]+c-c[/mm]
[mm]\bruch{x+b}{x+c}=\bruch{x+b+c-c}{x+c}=\bruch{x+c}{x+c}+\bruch{b-c}{x+c} =1+\bruch{b-c}{x+c}[/mm]
Gruß
MathePower
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