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| Aufgabe | Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f(x)= [mm] \bruch{-x²-4x-2}{(x+2)²}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für den Funktionsterm von f gilt: [mm] f(x)=\bruch{2}{(x+1)²}-1
[/mm]
Geben Sie die Gleichung der waagrechten Asymptote an.
b) Berechnen Sie das Maß des gekennzeichneten Flächenstücks (= das Stück zwischen dem Graph der Funktion und der waagrechten Asymptote zwischen x=-1 und x=1) |
Hallo!
Teilaufgabe a) versteh ich ja noch --> Polynomdivision, die Gleichung der waagrechten Asymptote ist dann g(x)= - 1
Aber Teilaufgabe b)? Habe sowieso ein Problem mit Integrieren, aber eigentlich müsste die Stammfunktion doch so aussehen:
F(x) = [mm] \bruch{2}{-1(x+1)} [/mm] - x
Richtig so?
Und dann müsste es doch theoretisch so gehen:
[mm] \integral_{1}^{-1}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{-1}{g(x) dx}, [/mm] oder?
Mache ich es so, komme ich auf das Ergebnis A=2 - was aber allein schon durch Schätzung anhand der Zeichnung nicht stimmen kann...
Bitte helft mir! Vielen Dank!
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Sehe gerade, dass das "hoch 2" hinter der Klammer im Nenner irgendwie nicht angezeigt wird - also im Nenner steht (x+1)² bzw. (x+2)²
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> Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f(x)=
> [mm]\bruch{-x²-4x-2}{(x+2)²}[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass für den Funktionsterm von f gilt:
> [mm]f(x)=\bruch{2}{(x+1)²}-1[/mm]
> Geben Sie die Gleichung der waagrechten Asymptote an.
> b) Berechnen Sie das Maß des gekennzeichneten
> Flächenstücks (= das Stück zwischen dem Graph der
> Funktion und der waagrechten Asymptote zwischen x=-1 und
> x=1)
> Hallo!
> Teilaufgabe a) versteh ich ja noch --> Polynomdivision, die
> Gleichung der waagrechten Asymptote ist dann g(x)= - 1
>
> Aber Teilaufgabe b)? Habe sowieso ein Problem mit
> Integrieren, aber eigentlich müsste die Stammfunktion doch
> so aussehen:
> F(x) = [mm]\bruch{2}{-1(x+1)}[/mm] - x
> Richtig so?
> Und dann müsste es doch theoretisch so gehen:
> [mm]\integral_{1}^{-1}{f(x) dx}[/mm] - [mm]\integral_{1}^{-1}{g(x) dx},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> oder?
>
> Mache ich es so, komme ich auf das Ergebnis A=2 - was aber
> allein schon durch Schätzung anhand der Zeichnung nicht
> stimmen kann...
> Bitte helft mir! Vielen Dank!
Hi,
du hast also $f(x)=\bruch{2}{(x+2)^{2}}-1$ (das hoch 2 kann man so, wie du es eingegeben hast, nicht erkennen und du schreibst (x+1) statt (x+2)).
Das kann man auch ohne Polynomdivision bekommen:
$f(x) = \frac{-x^{2}-4x-2}{(x+2)^{2}} = -\frac{(x+2)^2 - 2}{(x+2)^2} = -1 + \bruch{2}{(x+2)^2} $
Für die Flächenberechnung musst du das Intervall noch unterteilen, weil der Graph in dem Bereich die x-Achse schneidet. Willst du nur das Integral berechnen, kannst du das direkt machen.
Integral:
$\integral_{-1}^{1}\left(\bruch{2}{(x+2)^{2}}-1\right) dx} = \left[ -\frac{2}{x+2} - x\right]_{-1}^{1} = -\frac{2}{3}$
lg weightgainer
Flächeninhalt:
Die relevante Nullstelle liegt bei -2 + \wurzel{2}, damit ergibt sich als Flächeninhalt:
$A = \left|\integral_{-1}^{-2 + \wurzel{2}}\left(\bruch{2}{(x+2)^{2}}-1\right) dx} \right| + \left|\integral_{-2 + \wurzel{2}}^{1}\left(\bruch{2}{(x+2)^{2}}-1\right) dx} \right| \approx 0,17 + |-0,84| \approx 1,0098....$
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Hallo und danke für die schnelle Antwort!
Wow, jetzt wo du's sagst. Also mal wieder ein Fehler in unserem tollen Mathebuch (da steht nach der Umwandlung nämlich tatsächlich (x+1) im Nenner...)
An die Nullstelle hab ich auch schon gedacht - aber fehlt dann nicht das Stück, das links von der Nullstelle UNTER der x-Achse liegt?
Und wie wird bei der Intergration (auch allgemein) dann die waagrechte Asymptote miteinbezogen? Rechnet man so nicht das Flächenstück zwischen dem Graph und der x-Achse aus?
Vielen Dank nochmal.
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Siehe Mitteilung - meine erste Antwort berechnet tatsächlich das Integral zwischen -1 und 1 sowie kompliziert die Fläche zwischen Graph und x-Achse in dem Bereich.
Gesucht ist ja die Fläche zwischen Graph und Asymptote, das steht jetzt in der Mitteilung drin. Das ist leichter, weil man bei der Integration nicht besonders aufpassen muss und die Funktion recht angenehm zu integrieren ist.
Sorry nochmal für die Verwirrung.
lg weightgainer
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Sorry, meine Antwort ist falsch. Die würde dir die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen angeben.
Gesucht ist ja die Fläche zwischen Graph und Asymptote.
Das ist natürlich viel einfacher:
$A = [mm] \left| \integral_{-1}^{1}{\frac{2}{(x+2)^2} dx}\right| [/mm] = [mm] \left| \left[ -\frac{2}{x+2}\right]_{-1}^{1} \right| [/mm] = [mm] \frac{4}{3}$
[/mm]
Vielleicht ist es doch schon zu spät für solche Aufgaben. Dann steckt bei dir bestimmt nur ein kleiner Rechenfehler drin, du "vergisst" irgendwo auf dem Weg ein [mm] $\frac{2}{3}$, [/mm] das du von den dir berechneten 2 noch abziehen musst.
lg weightgainer
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Ah, ok, vielen Dank!
Bleibt nur immer noch die Frage, wie die Asymptote bei -1 miteinbezogen wurde? Hast du die Funktion einfach mit + 1 um eins nach oben verschoben? (und wenn ja - kann man das bei waagrechten Asymptoten immer machen? Wie macht man's bei schrägen?)
Oder wieso braucht man jetzt die Nullstelle doch nicht mehr? Herrje, ich bin überfordert... Danke nochmal (:
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> Ah, ok, vielen Dank!
> Bleibt nur immer noch die Frage, wie die Asymptote bei -1
> miteinbezogen wurde? Hast du die Funktion einfach mit + 1
> um eins nach oben verschoben? (und wenn ja - kann man das
> bei waagrechten Asymptoten immer machen? Wie macht man's
> bei schrägen?)
> Oder wieso braucht man jetzt die Nullstelle doch nicht
> mehr? Herrje, ich bin überfordert... Danke nochmal (:
Naja, du hattest es im Grunde schon selbst geschrieben:
Die Asymptote ist ja nichts anderes als eine andere Funktion.
Für die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen gilt der einfache Weg:
$A = [mm] \left| \integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x) dx} \right|$
[/mm]
Einzig zu beachten:
In dem Intervall [a;b] dürfen die beiden sich nicht schneiden, d.h. möglicherweise muss man das Intervall noch einmal von Schnittpunkt zu Schnittpunkt aufteilen. Der Grund ist der gleiche wie in meiner richtigen Antwort auf eine hier nicht gestellte Frage.
Kurz erklärt: Die Differenz zweier Funktionen gibt ja wieder eine Funktion. Du berechnest dann praktisch die Fläche, die diese neue Funktion mit der x-Achse einschließt. Das ist letztlich tatsächlich eine Verschiebung der einen Funktion um die Funktionswerte der anderen Funktion. Wenn das keine konstante Funktion ist, dann wird eben jeder Punkt des ursprünglichen Graphen unterschiedlich weit verschoben, aber am Prinzip und der obigen Formel ändert sich natürlich nichts.
Bei Flächenberechnungen muss man immer getrennt zwischen oberhalb und unterhalb der x-Achse berechnen und wenn sich die Funktionen schneiden, liegt diese Differenzfunktion genau dort auf der x-Achse (das ist klar, denn die eine Funktion wird ja dann genau um ihren Funktionswert verschoben).
Hast du das auch mal zeichnen lassen? Also die Funktion und die Asymptote? Da sieht man ganz gut, was man berechnet.
Hier liegt der Funktionsgraph in diesem Bereich immer oberhalb der Asymptote, deswegen kann man das in einem Schritt erledigen.
lg weightgainer
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Ah, jetzt hab ich's verstanden.
Mein Problem war wahrscheinlich, dass ich nicht wusste, "wann" man die untere Funktion von der oberen abzieht. Deiner Antwort nach muss man das also immer schon vor dem Integrieren machen - dann ist jetzt alles klar.
Und ja, Abbildung dazu war im Buch - dem ich allerdings kein Vertrauen schenke, nachdem sich auf fast jeder 2. Seite ein Fehler findet (siehe x+1) und es somit mehr für Verwirrung als für Verständnis sorgt ;) . Weiß nicht wie viele Stunden ich schon damit verbracht habe, zu versuchen, auf ein bestimmtes, angegebenes Ergebnis zu kommen, das sich im Nachhinein als falsch rausgestellt hat... Dieses Buch gehört verbessert!
Auf jeden Fall -
nochmals vielen, vielen Dank und eine gute Nacht (:
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