Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
| Aufgabe | Hallo alle zusammen ich habe bei einer Integral Aufgabe probleme:
Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{x+2}{\wurzel{4x -x^2}} \, [/mm] dx
Ich hab im moment leider keine Idee was ich substituieren soll.
Bitte hilft mir. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tiger1,
das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor einer Integration das ganze in zwei Summanden aufzuspalten:
[mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten versuche
x=z+2
dann bekommst du ein Standardintegral.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 So 30.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo tiger1,
>
> das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> einer Integration das ganze in zwei Summanden
> aufzuspalten:
>
> [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> versuche
>
> x=z+2
>
> dann bekommst du ein Standardintegral.
Oh ja, sehr elegant. Ich war mit meinem Antwortversuch eben auch bein Auseinanderziehen, aber den Trick habe ich in der Tat nicht gesehen.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
>
> das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> einer Integration das ganze in zwei Summanden
> aufzuspalten:
>
> [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> versuche
>
> x=z+2
>
> dann bekommst du ein Standardintegral.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Leut ezuert einmal direkt eine frage was habt ihr da genau gemacht?
Wie kommst du einmal auf das
x-2 und einmal auf das 4 im Zähler.
Kannst du mir das ein wenig genauer erklären, weil bis ich das nicht verstehe macht es keinen Sinn weiter zu rechnen.
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Hallo,
> Wie kommst du einmal auf das
>
> x-2 und einmal auf das 4 im Zähler.
>
> Kannst du mir das ein wenig genauer erklären, weil bis ich
> das nicht verstehe macht es keinen Sinn weiter zu rechnen.
x+2=x-2+4
Das lässt sich nun wirklich leicht nachrechnen.
Wie ich daraufkomme, das zu vesuchen? Nun, es dürfte klar sein, dass man für den Fall dieser speziellen Wurzel mit x-2 im Zähler weiterkommt, weil das ein Vielfaches der Ableitung des Wurzelinhalts ist. Also der vordere Teil entspringt sozusagen meinem 'Wunschdenken'.
Glücklicherweise entsteht dabei als zweiter Summand ein Bruch mit einem konstanten Zähler, wir haben also einen Integrand der Form 'c geteilt durch Wurzel aus einem quadratischen Term'. Hier lehrt einen halt die Erfahrung, dass man das immer mit einer der Funktionen Arkussinus, Arkuskosinus bzw. Areasinus und -kosinus hinprfriemeln kann, also habe ich es versucht - mit Erfolg.
Wenn ich ehrlich bin, habe ich es vor meiner Antwort auch noch per CAS nachgerechnet, daher
@Marius:
Danke für die Blumen, aber der Strauß ist ein wenig groß in diesem Fall. 
Auf jeden Fall mal wieder ein Integral, bei dem klar wird, was es mit dem alten Spruch
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst
auf sich hat. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
>
> das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> einer Integration das ganze in zwei Summanden
> aufzuspalten:
>
> [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> versuche
>
> x=z+2
>
> dann bekommst du ein Standardintegral.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Ok soweit ist es mir klar geworden .
Welches Integral muss ich denn jetzt genau durch substitution bestimmen?
Müsste ich das erste Integral z.B mit der substitution:
u = 4x [mm] -x^2 [/mm] bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 30.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo tiger1!
> Müsste ich das erste Integral z.B mit der substitution:
>
> u = 4x [mm]-x^2[/mm] bestimmen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das wäre eine gute Idee.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
[mm] \integral_{}^{} \bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}}\, [/mm] dx
u = 4x [mm] -x^2
[/mm]
du = 4 -2x *dx
dx= [mm] \bruch{du}{4-2x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{} \bruch{(x-2)}{\wurzel{u}*(4-2x)}\, [/mm] du
Aber ich versteh jetzt nicht wie ich weiter vorgehen soll jetzt.
Bitte hilft mir.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 So 30.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Im Nenner kannst Du zunächst $-2_$ ausklammern und kannst dann kürzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}}\,[/mm] dx
>
> u = 4x [mm]-x^2[/mm]
>
> du = 4 -2x *dx
>
> dx= [mm]\bruch{du}{4-2x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2)}{\wurzel{u}*(4-2x)}\,[/mm] du
>
> Aber ich versteh jetzt nicht wie ich weiter vorgehen soll
> jetzt.
> Bitte hilft mir.
[mm] \integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*-2*(-2+x)}\, [/mm] du
= [mm] \integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*-2}\, [/mm] du
= -1/2 [mm] \integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}}\, [/mm] du =
ln ( [mm] \wurzel{u})
[/mm]
So richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 30.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}}\,[/mm] dx
> >
> > u = 4x [mm]-x^2[/mm]
> >
> > du = 4 -2x *dx
setze bitte Klammern:
[mm] $$du=(4-2x)*dx\,.$$
[/mm]
wobei ich das [mm] $*\,$ [/mm] da auch nicht wirklich schreiben würde (bei geeigneter
Interpretation macht es aber schon irgendwie Sinn).
> >
> > dx= [mm]\bruch{du}{4-2x}[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2)}{\wurzel{u}*(4-2x)}\,[/mm] du
> >
> > Aber ich versteh jetzt nicht wie ich weiter vorgehen soll
> > jetzt.
> > Bitte hilft mir.
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*-2*(-2+x)}\,[/mm] du
Auch hier solltest Du Klammern setzen:
[mm] $$\integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*\red{(}-2\red{)}*(-2+x)}\,du$$ [/mm]
> = [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*-2}\,[/mm] du
S.o.:
[mm] $$\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*\red{(}-2\red{)}}\,du$$
[/mm]
> = -1/2 [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}}\,[/mm] du
Bis hierhin ist das soweit (wobei Du die [mm] $(1)\,$ [/mm] im Zähler auch als
[mm] $1\,$ [/mm] schreiben kannst/solltest, die Klammer hat da keine Bedeutung oder
Wirkung), aber das hier:
> = ln ( [mm]\wurzel{u})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> So richtig?
ist Quatsch:
Was ist
$$\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;du=\int {u}^{-\frac{1}{2}}}\,du\;\;\;\;\;\;\text{ ?}$$
(Es gibt doch die wunderbare Regel, dass für $v \mapsto v^\alpha$ eine
Stammfunktion durch $v \mapsto \frac{1}{\alpha+1}v^{\alpha+1}$ gegeben ist - sofern $\alpha\not=-1$ ist!)
Und danach solltest Du natürlich auch nochmal $u=u(x)=4x-x^2$
resubstituieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo,
>
> > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}}\,[/mm] dx
> > >
> > > u = 4x [mm]-x^2[/mm]
> > >
> > > du = 4 -2x *dx
>
> setze bitte Klammern:
> [mm]du=(4-2x)*dx\,.[/mm]
> wobei ich das [mm]*\,[/mm] da auch nicht wirklich schreiben würde
> (bei geeigneter
> Interpretation macht es aber schon irgendwie Sinn).
>
> > >
> > > dx= [mm]\bruch{du}{4-2x}[/mm]
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2)}{\wurzel{u}*(4-2x)}\,[/mm] du
> > >
> > > Aber ich versteh jetzt nicht wie ich weiter vorgehen soll
> > > jetzt.
> > > Bitte hilft mir.
> >
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*-2*(-2+x)}\,[/mm] du
>
> Auch hier solltest Du Klammern setzen:
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*\red{(}-2\red{)}*(-2+x)}\,du[/mm]
>
> > = [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*-2}\,[/mm] du
>
> S.o.:
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*\red{(}-2\red{)}}\,du[/mm]
>
> > = -1/2 [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}}\,[/mm] du
>
> Bis hierhin ist das soweit (wobei Du die [mm](1)\,[/mm] im
> Zähler auch als
> [mm]1\,[/mm] schreiben kannst/solltest, die Klammer hat da keine
> Bedeutung oder
> Wirkung), aber das hier:
>
> > = ln ( [mm]\wurzel{u})[/mm]
> >
> > So richtig?
>
> ist Quatsch:
> Was ist
> [mm]\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;du=\int {u}^{-\frac{1}{2}}}\,du\;\;\;\;\;\;\text{ ?}[/mm]
>
> (Es gibt doch die wunderbare Regel, dass für [mm]v \mapsto v^\alpha[/mm]
> eine
> Stammfunktion durch [mm]v \mapsto \frac{1}{\alpha+1}v^{\alpha+1}[/mm]
> gegeben ist - sofern [mm]\alpha\not=-1[/mm] ist!)
>
> Und danach solltest Du natürlich auch nochmal
> [mm]u=u(x)=4x-x^2[/mm]
> resubstituieren!
>
> Gruß,
> Marcel
Es müsste als ergebnis :
-2 * [mm] \wurzel{u} [/mm] rauskommen.
Stimmt es ?
Was soll ich jetzt beim 2 Integral substituieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 So 30.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}}\,[/mm] dx
> > > >
> > > > u = 4x [mm]-x^2[/mm]
> > > >
> > > > du = 4 -2x *dx
> >
> > setze bitte Klammern:
> > [mm]du=(4-2x)*dx\,.[/mm]
> > wobei ich das [mm]*\,[/mm] da auch nicht wirklich schreiben
> würde
> > (bei geeigneter
> > Interpretation macht es aber schon irgendwie Sinn).
> >
> > > >
> > > > dx= [mm]\bruch{du}{4-2x}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2)}{\wurzel{u}*(4-2x)}\,[/mm] du
> > > >
> > > > Aber ich versteh jetzt nicht wie ich weiter vorgehen soll
> > > > jetzt.
> > > > Bitte hilft mir.
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*-2*(-2+x)}\,[/mm] du
> >
> > Auch hier solltest Du Klammern setzen:
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(x-2) }{\wurzel{u}*\red{(}-2\red{)}*(-2+x)}\,du[/mm]
> >
> > > = [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*-2}\,[/mm] du
> >
> > S.o.:
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}*\red{(}-2\red{)}}\,du[/mm]
>
> >
> > > = -1/2 [mm]\integral_{}^{} \bruch{(1) }{\wurzel{u}}\,[/mm] du
> >
> > Bis hierhin ist das soweit (wobei Du die [mm](1)\,[/mm] im
> > Zähler auch als
> > [mm]1\,[/mm] schreiben kannst/solltest, die Klammer hat da keine
> > Bedeutung oder
> > Wirkung), aber das hier:
> >
> > > = ln ( [mm]\wurzel{u})[/mm]
> > >
> > > So richtig?
> >
> > ist Quatsch:
> > Was ist
> > [mm]\int \frac{1}{\sqrt{u}}\;du=\int {u}^{-\frac{1}{2}}}\,du\;\;\;\;\;\;\text{ ?}[/mm]
>
> >
> > (Es gibt doch die wunderbare Regel, dass für [mm]v \mapsto v^\alpha[/mm]
> > eine
> > Stammfunktion durch [mm]v \mapsto \frac{1}{\alpha+1}v^{\alpha+1}[/mm]
> > gegeben ist - sofern [mm]\alpha\not=-1[/mm] ist!)
> >
> > Und danach solltest Du natürlich auch nochmal
> > [mm]u=u(x)=4x-x^2[/mm]
> > resubstituieren!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Es müsste als ergebnis :
>
> -2 * [mm]\wurzel{u}[/mm] rauskommen.
>
>
> Stimmt es ?
nein, irgendwo hast Du da Faktoren verschlampt: Mit [mm] $u=u(x)=4x-x^2$ [/mm] war
[mm] $$\integral_{}^{} \bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}}\,dx=\ldots=\;-\;\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du=\;-\;\frac{1}{2}*(2*u^{1/2}\;\;\;(+c^\*))=\;-\;\sqrt{u}\;\;\;\big(+c\big)\,,$$
[/mm]
wobei man die Konstanten (=konstante Funktionen) [mm] $c\,$ [/mm] bzw. [mm] $c^\*$ [/mm]
auch vernachlässigen kann, d.h. man kann ohne Weiteres etwa einfach
[mm] $c=c^\*=0$ [/mm] setzen (deswegen stehen sie oben auch in Klammern). Aber
nach wie vor: Du suchst eine Stammfunktion in der Variablen [mm] $x\,,$ [/mm] jetzt
hast Du oben eine in der Variablen [mm] $u\,.$ [/mm] Also setze [mm] $u=4x-x^2$ [/mm] noch in
[mm] $-\sqrt{u}$ [/mm] ein - und wenn Du magst, differenzierst Du zur Kontrolle diese
Funktion nochmal, um Deine Rechnung zu kontrollieren!
> Was soll ich jetzt beim 2 Integral substituieren?
Liest Du denn keine Antworten? Das hat Diophant Dir doch hier (klick!)
ganz klar gesagt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
>
> das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> einer Integration das ganze in zwei Summanden
> aufzuspalten:
>
> [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> versuche
>
> x=z+2
>
> dann bekommst du ein Standardintegral.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Das Integral habe ich so berechnet:
x = z+2
dx/dz = 1
[mm] \integral_{}^{} \bruch{4}{\wurzel{4*(z+2)*-(z+2)^2}}\, [/mm] dz
Ist es soweit richtig?
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Hallo tiger1,
> > Hallo tiger1,
> >
> > das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> > einer Integration das ganze in zwei Summanden
> > aufzuspalten:
> >
> > [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> >
> > Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> > versuche
> >
> > x=z+2
> >
> > dann bekommst du ein Standardintegral.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
> >
>
>
> Das Integral
Welches? Das letztere in der Summe oben, nehme ich an...
> habe ich so berechnet:
>
> x = z+2
>
> dx/dz = 1
>
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{4}{\wurzel{4*(z+2)*-(z+2)^2}}\,[/mm] dz
Da ist unter der Wurzel nach der 1.Klammer ein Multiplikatiopspunkt zuviel ...
>
>
> Ist es soweit richtig?
Bis auf den [mm] $\cdot{}$ [/mm] ja ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
>
>
> > > Hallo tiger1,
> > >
> > > das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> > > einer Integration das ganze in zwei Summanden
> > > aufzuspalten:
> > >
> > > [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> > > versuche
> > >
> > > x=z+2
> > >
> > > dann bekommst du ein Standardintegral.
> > >
> > >
> > > Gruß, Diophant
> > >
> >
> >
> > Das Integral
>
> Welches? Das letztere in der Summe oben, nehme ich an...
>
> > habe ich so berechnet:
> >
> > x = z+2
> >
> > dx/dz = 1
> >
> >
> > [mm]\integral_{}^{} \bruch{4}{\wurzel{4*(z+2)*-(z+2)^2}}\,[/mm] dz
>
> Da ist unter der Wurzel nach der 1.Klammer ein
> Multiplikatiopspunkt zuviel ...
>
> >
> >
> > Ist es soweit richtig?
>
> Bis auf den [mm]\cdot{}[/mm] ja ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
>
Aber wie gehe ich weiter vor ?
Ich habe im moment keine Idee.
Soll ich das Binom auflösen ?
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Hallo tiger1,
> > Hallo tiger1,
> >
> >
> > > > Hallo tiger1,
> > > >
> > > > das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> > > > einer Integration das ganze in zwei Summanden
> > > > aufzuspalten:
> > > >
> > > > [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> > > > versuche
> > > >
> > > > x=z+2
> > > >
> > > > dann bekommst du ein Standardintegral.
> > > >
> > > >
> > > > Gruß, Diophant
> > > >
> > >
> > >
> > > Das Integral
> >
> > Welches? Das letztere in der Summe oben, nehme ich an...
> >
> > > habe ich so berechnet:
> > >
> > > x = z+2
> > >
> > > dx/dz = 1
> > >
> > >
> > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{4}{\wurzel{4*(z+2)*-(z+2)^2}}\,[/mm] dz
> >
> > Da ist unter der Wurzel nach der 1.Klammer ein
> > Multiplikatiopspunkt zuviel ...
> >
> > >
> > >
> > > Ist es soweit richtig?
> >
> > Bis auf den [mm]\cdot{}[/mm] ja ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> >
> Aber wie gehe ich weiter vor ?
>
> Ich habe im moment keine Idee.
>
> Soll ich das Binom auflösen ?
Ja, den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger1,
>
> > > Hallo tiger1,
> > >
> > >
> > > > > Hallo tiger1,
> > > > >
> > > > > das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> > > > > einer Integration das ganze in zwei Summanden
> > > > > aufzuspalten:
> > > > >
> > > > > [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> > > > > versuche
> > > > >
> > > > > x=z+2
> > > > >
> > > > > dann bekommst du ein Standardintegral.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruß, Diophant
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Das Integral
> > >
> > > Welches? Das letztere in der Summe oben, nehme ich an...
> > >
> > > > habe ich so berechnet:
> > > >
> > > > x = z+2
> > > >
> > > > dx/dz = 1
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{4}{\wurzel{4*(z+2)*-(z+2)^2}}\,[/mm] dz
> > >
> > > Da ist unter der Wurzel nach der 1.Klammer ein
> > > Multiplikatiopspunkt zuviel ...
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Ist es soweit richtig?
> > >
> > > Bis auf den [mm]\cdot{}[/mm] ja ...
> > >
> > > Gruß
> > >
> > > schachuzipus
> > >
> > >
> > Aber wie gehe ich weiter vor ?
> >
> > Ich habe im moment keine Idee.
> >
> > Soll ich das Binom auflösen ?
>
>
> Ja, den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Dann hätte ich das stehen:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{4}{\wurzel{4z+8- z^2 -4z-4}} \, [/mm] dz
[mm] =\integral_{}^{}\bruch{4}{\wurzel{-z^2-4}} \, [/mm] dz
Wie gehe ich weiter vor?
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Hallo tiger1,
> > Hallo tiger1,
> >
> > > > Hallo tiger1,
> > > >
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> > > > > > Hallo tiger1,
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> > > > > > das Integral hat es schon in sich. IMO ist es günstig, vor
> > > > > > einer Integration das ganze in zwei Summanden
> > > > > > aufzuspalten:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\integral{\bruch{x+2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x-2}{\wurzel{4x-x^2}} dx}+\integral{\bruch{4}{\wurzel{4x-x^2}} dx}[/mm]
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> > > > > > Der vordere Summand dürfte dann klar sein, hinten
> > > > > > versuche
> > > > > >
> > > > > > x=z+2
> > > > > >
> > > > > > dann bekommst du ein Standardintegral.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Gruß, Diophant
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Das Integral
> > > >
> > > > Welches? Das letztere in der Summe oben, nehme ich an...
> > > >
> > > > > habe ich so berechnet:
> > > > >
> > > > > x = z+2
> > > > >
> > > > > dx/dz = 1
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm]\integral_{}^{} \bruch{4}{\wurzel{4*(z+2)*-(z+2)^2}}\,[/mm] dz
> > > >
> > > > Da ist unter der Wurzel nach der 1.Klammer ein
> > > > Multiplikatiopspunkt zuviel ...
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Ist es soweit richtig?
> > > >
> > > > Bis auf den [mm]\cdot{}[/mm] ja ...
> > > >
> > > > Gruß
> > > >
> > > > schachuzipus
> > > >
> > > >
> > > Aber wie gehe ich weiter vor ?
> > >
> > > Ich habe im moment keine Idee.
> > >
> > > Soll ich das Binom auflösen ?
> >
> >
> > Ja, den Ausdruck unter der Wurzel ausrechnen.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Dann hätte ich das stehen:
>
> [mm]\integral_{}^{}\bruch{4}{\wurzel{4z+8- z^2 -4z-4}} \,[/mm] dz
>
> [mm]=\integral_{}^{}\bruch{4}{\wurzel{-z^2-4}} \,[/mm] dz
>
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]=\integral_{}^{}\bruch{4}{\wurzel{-z^2\blue{+}4}} \ dz [/mm]
> Wie gehe ich weiter vor?
Führe das zurück auf ein Standardintegral.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 30.12.2012 | | Autor: | tiger1 |
Hallo Marcel kannst du mir erklären woher auf einmal die 2 herkommt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 30.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo tiger1!
Du scheinst mal wieder wenig selber nachzudenken, bevor hier sofort eine Rückfrage von Dir kommt. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Marcel hat unter der Wurzel zunächst 4 ausgeklammert und anschließend [mm] $\wurzel{4} [/mm] \ = \ 2$ angewandt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ...
> > wie Mathepower schon schrieb:
> > [mm]=\integral_{}^{}\bruch{4}{\wurzel{\blue{+}4-z^2}} \ dz[/mm]
>
> >
> > Das kann man umschreiben zu
> > [mm]=4*\int \frac{1}{2*\wurzel{1-(z/2)^2}}\,dz=4*\int \frac{1}{\wurzel{1-(z/2)^2}}\,\frac{dz}{2}\,.[/mm]
>
> >
> > Jetzt lies mal
> >
> ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!)
> > und Du solltest eine naheliegende
> > Substitution erkennen (Erinnerung:
> >
> HDI (klick!)).
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> Soll ich für z/2 = x als substitution nehmen ?
>
warum fragst Du und machst es nicht einfach mal? Wobei Du vielleicht nicht
[mm] $x\,$ [/mm] als Substitutionsvariable nehmen solltest, denn Du hattest zuvor
schonmal [mm] $x=z+2\,$ [/mm] substituiert - und bei mehreren Substitutionen verliert
man dann irgendwann den Überblick.
Also "Jein": Substituiere etwa [mm] $y=y(z):=z/2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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