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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Di 12.02.2013 | | Autor: | tiger1 |
| Aufgabe | Hey leute wieder einmal eine sehr schwere Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:
Berechnen sie das unbestimmte Integral:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{1}{x*(x^2 +1)} \, [/mm] dx
Ich glaube ich muss PBz zuerst anwenden .
Aber ich vertsehe nicht wie ich von das hier die nulstellen bestimme:
[mm] x*(x^2+1) [/mm] = 0
Ist es einfach:
x1 = 0 x2 = 1 und x3 = -1 ? |
nicht gestellt.
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Hallo,
> Hey leute wieder einmal eine sehr schwere Aufgabe bei der
> ich nicht weiter komme:
nun ja: die hier ist nicht so schwierig. 
> Berechnen sie das unbestimmte Integral:
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{1}{x*(x^2 +1)} \,[/mm] dx
>
> Ich glaube ich muss PBz zuerst anwenden .
>
> Aber ich vertsehe nicht wie ich von das hier die nulstellen
> bestimme:
>
> [mm]x*(x^2+1)[/mm] = 0
>
> Ist es einfach:
>
> x1 = 0 x2 = 1 und x3 = -1 ?
Nein. Denn der quadratische Faktor [mm] (x^2+1) [/mm] besitzt natürlich keine reellen Nullstellen.
Setze die Partialbruchzerlegung so an:
[mm]\bruch{1}{x*(x^2+1)}=\bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+1}[/mm]
damit solltest du weiterkommen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 12.02.2013 | | Autor: | tiger1 |
Mein erster Schritt in der PBZ würde so aussehen:
1 = [mm] A*(x^2 [/mm] +1 ) +(Bx+c)*x
1 = [mm] Ax^2 [/mm] + A [mm] +Bx^2 [/mm] + Cx
1 = [mm] x^2 [/mm] * ( A+B ) + A+ Cx
Jetzt verstehe ich nicht wie ich den Koeffizientenvergleich in diesem Fall mache?
Ist A+ B = 1 ?
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Hallo tiger,
> Mein erster Schritt in der PBZ würde so aussehen:
>
> 1 = [mm]A*(x^2[/mm] +1 ) +(Bx+c)*x
>
> 1 = [mm]Ax^2[/mm] + A [mm]+Bx^2[/mm] + Cx
>
> 1 = [mm]x^2[/mm] * ( A+B ) + A+ Cx
Bis hierhin ok. Wenn Du weniger Freiräume lässt, funktioniert die Formeldarstellung besser: [mm] 1=(A+B)x^2+Cx+A
[/mm]
> Jetzt verstehe ich nicht wie ich den Koeffizientenvergleich
> in diesem Fall mache?
>
> Ist A+ B = 1 ?
Raten hilft nicht weiter. Wieviele [mm] x^2 [/mm] stehen auf der linken Seite? Keins. Also ist A+B=0. Wieviele x links? Auch keins. Also C=0. Und dann noch die absoluten Glieder vergleichen...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 12.02.2013 | | Autor: | tiger1 |
> Hallo tiger,
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> > Mein erster Schritt in der PBZ würde so aussehen:
> >
> > 1 = [mm]A*(x^2[/mm] +1 ) +(Bx+c)*x
> >
> > 1 = [mm]Ax^2[/mm] + A [mm]+Bx^2[/mm] + Cx
> >
> > 1 = [mm]x^2[/mm] * ( A+B ) + A+ Cx
>
> Bis hierhin ok. Wenn Du weniger Freiräume lässt,
> funktioniert die Formeldarstellung besser: [mm]1=(A+B)x^2+Cx+A[/mm]
>
> > Jetzt verstehe ich nicht wie ich den Koeffizientenvergleich
> > in diesem Fall mache?
> >
> > Ist A+ B = 1 ?
>
> Raten hilft nicht weiter. Wieviele [mm]x^2[/mm] stehen auf der
> linken Seite? Keins. Also ist A+B=0. Wieviele x links? Auch
> keins. Also C=0. Und dann noch die absoluten Glieder
> vergleichen...
>
> Grüße
> reverend
>
Ah ja ok.
A+B=0
C = 0
A=1
B= -1
Partialbruch:
[mm] \integral_{-N}^{N} \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(x^2 + 1) }\, [/mm] dx = ln(x) - arctan(x) + c
Ist das ergebnis richtig?
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Hallo,
> Ah ja ok.
>
> A+B=0
>
> C = 0
>
> A=1
>
> B= -1
>
> Partialbruch:
>
> [mm]\integral_{-N}^{N} \bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(x^2 + 1) }\,[/mm]
> dx = ln(x) - arctan(x) + c
>
> Ist das ergebnis richtig?
>
Nein, das ist falsch. Ich hatte es dir gestern fälschlicherweise als richtig bestätigt. Schaue dir bitte noch meine neuere Antwort an, dort ist alles erklärt, ich habe dir das Integral auch zu Ende gerechnet, ausnahmsweise. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Di 12.02.2013 | | Autor: | tiger1 |
Danke leute.
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Hallo tiger1,
da ich dir gestern vorschnell eine falsche Lösung als richtig bewertet habe, sei hier noch die richtige Version nachgeliefert.
Mit deiner korrekten Partialbruchzerlegung und den ermittelten Konstanten A=1, B=-1 und C=0 erhält man zunächst das Integral
[mm]\integral{\bruch{1}{x*(x^2+1)} dx}=\integral{\left(\bruch{1}{x}-\bruch{x}{x^2+1}\right) dx}=\integral{\bruch{1}{x} dx}-\integral{\bruch{x}{x^2+1} dx}[/mm].
Beachte den Unterschied im zweiten Integral zur bisherigen Version. Dieses löst man dann natürlich direkt per Substitution, etwa so:
[mm]\integral{\bruch{1}{x*(x^2+1)} dx}=\integral{\bruch{1}{x} dx}-\integral{\bruch{x}{x^2+1} dx}=\integral{\bruch{1}{x} dx}-\bruch{1}{2}\integral{\bruch{2x}{x^2+1} dx}=ln|x|-\bruch{1}{2}ln(x^2+1)+C=ln\bruch{|x|}{\wurzel{x^2+1}}+C[/mm]
Dabei habe ich [mm] u=x^2+1 [/mm] substituiert, nachdem ich den Faktor 1/2 vor das Integral gezogen habe, damit im Zähler die Ableitung des Nenners steht.
Sorry für meinen Fehler!
Gruß, Diophant
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