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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Do 29.11.2007 | | Autor: | C.B. |
| Aufgabe | Für k > 0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x)=kx(x-4).
Bestimme k so, dass die Fläche zwischen der Geraden zu y=x und dem Graphen von fK einen minimalen Flächeninhalt hat. |
Hierbei hatte ich zwei Ansätze, wobei ich mit keinem von beiden weiter kam.
1.Ansatz: Schnittstellen berrechnen, also
[mm] kx^2 [/mm] - 4kx - x = o
[mm] x^2 [/mm] - 4x - x/k = 0
und jetzt??
2. Ansatz: Die Fläche hätte den minimalen Flächeninhalt 0, wenn es zwischen fk und y nur einen Berührpunkt gibt.
Also muss fk'(x) = 1 sein.
also 2kx - 4k - 1 = 0.
<=> x = 2 + 1/2 k
aber irgendwas passt da noch nicht...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo!
> 1.Ansatz: Schnittstellen berrechnen, also
> [mm]kx^2[/mm] - 4kx - x = o
> [mm]x^2[/mm] - 4x - x/k = 0
>
> und jetzt??
Das ist richtig. Nun kannst du ein x ausklammern:
x(x - 4 - 1/k) = 0
Und, wie sind nun die Nullstellen? Eine der beiden hängt von k ab, das sollte dich nicht stören.
>
> 2. Ansatz: Die Fläche hätte den minimalen Flächeninhalt 0,
> wenn es zwischen fk und y nur einen Berührpunkt gibt.
> Also muss fk'(x) = 1 sein.
> also 2kx - 4k - 1 = 0.
> <=> x = 2 + 1/2 k
>
> aber irgendwas passt da noch nicht...
>
Das ist in der tat merkwürdig, was du da versuchst. Um diesen Gedanken zu ende zu führen: Das, was du da suchst, ist ein k, das die Funktion zu einer Grade macht, die mit der gegebenen zusammenfällt. So ein k gibts aber nicht!
Der erste Ansatz ist schon richtig so. Bilde die Stammfunktion [mm] $\int f_k(x)-y(x)$ [/mm] , und störe dich nicht dran, daß da ein k drin steht. Wenn doch, rechne das mal beispielhaft mit einer beliebigen Zahl für k aus.
Dann setzt du die Grenzen ein. Dadurch verschwinden die x aus der Stammfunktion, und du hast ausschließlich k's drin.
Und nun: Da ist ne Funktion mit lauter k's. Diese Funktion soll minimal werden. Das sollte kein Problem mehr sein, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 29.11.2007 | | Autor: | C.B. |
Erstmal vielen Dank!
Allerdings wird das berrechnen des ks, bei dem der Inhalt minimal wird doch zum Problem.
Denn die Extremalbedingung habe ich ja. Aber was ist die Nebenbedingung?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:01 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo C.B.!
Deine gesuchte Flächenfunktion lautet doch:
$$A(k) \ = \ [mm] \integral_0^{4+\bruch{1}{k}}{g(x)-f_k(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_0^{4+\bruch{1}{k}}{x-k*x*(x-4) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Nun Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen und anschließend nach $k_$ die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
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