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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:02 Do 20.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Im Forster gibt es einen Beweis über die Binomische Reihe, bei welchem ich etwas nicht verstehe.
Sei [mm] R_{n+1}(x) [/mm] = (n+1) [mm] \vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt} [/mm] für [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit [mm] \alpha \notin \IN [/mm] und x [mm] \not= [/mm] 0 die Integraldarstellung des Restgliedes.
1) Wieso gilt dann für -1 < x < 0:
[mm] |R_{n+1}(x)| [/mm] = (n+1) * [mm] \left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right| [/mm] = [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n} \integral_{0}^{|x|}{(|x| - t|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right| [/mm] ?
2) Wieso gilt [mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}
[/mm]
[mm] \le [/mm] C [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} [/mm] ?
Dies würde ja auf die Ungleichung [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] führen, welche aber keinen Sinn für mich ergibt.
Für eure Hilfe wäre ich dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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> Hallo zusammen!
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> Im Forster gibt es einen Beweis über die Binomische Reihe,
> bei welchem ich etwas nicht verstehe.
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> Sei [mm]R_{n+1}(x)[/mm] = (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt}[/mm]
> für [mm]\alpha \in \IR[/mm] mit [mm]\alpha \notin \IN[/mm] und x [mm]\not=[/mm] 0 die
> Integraldarstellung des Restgliedes.
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> 1) Wieso gilt dann für -1 < x < 0:
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> [mm]|R_{n+1}(x)|[/mm] = (n+1) * [mm]\left|\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{|x|}{(x+t)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right|[/mm]
> = [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n} \integral_{0}^{|x|}{(|x| - t|)^{n}(1-t)^{\alpha-n-1}dt}\right|[/mm]
> ?
Substituiere t=-u mit dt=-du.
(n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{x}{(x-t)^{n}(1+t)^{\alpha - n - 1} dt}[/mm] = (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{-x}{(x+u)^{n}(1-u)^{\alpha - n - 1} (-du)}[/mm]=
- (n+1) [mm]\vektor{\alpha\\n+1} \integral_{0}^{-x}{(x+u)^{n}(1-u)^{\alpha - n - 1} du}[/mm]
(Ich bleibe jetzt beim Buchstaben u statt t.)
Da x negativ ist, ist -x = |x|. Außerdem spielt das Minuszeichen vor dem Integral bei der Betragsbetrachtung keine Rolle.
Es ist [mm] \vektor{\alpha\\n+1} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)...n+1 Faktoren}{1*2*3...*(n+1)}=\bruch{\alpha}{(n+1)}*\bruch{(\alpha-1)(\alpha-2)...n Faktoren}{1*2*3...*n}=\bruch{\alpha}{(n+1)}*\vektor{\alpha-1\\n}.
[/mm]
(n+1) vor dem Integral kürzt sich dann noch weg.
Nun zur Klammer [mm] (x+u)^{n}. [/mm] Da x negativ ist, kann man dafür wieder -|x| schreiben und erhält [mm] (-|x|+u)^{n}. [/mm] Da wegen der Betragsbetrachtung das Vorzeichen eines Faktors keine Rolle spielt, kann man die Klammer auch durch [mm] (|x|-u)^n [/mm] ersetzen. (unabhängig von n gerade oder ungerade)
Da u zwischen 0 und |x| liegt (s.Integrationsgrenzen) und positiv [mm] \le1 [/mm] ist, ist [mm] 1\ge|x|\ge|x|-u\ge0 [/mm] und damit betragsmäßig auch [mm] |x|^n\ge (|x|-u)^n.
[/mm]
Das [mm] \le [/mm] -Zeichen zwischen den beiden fogenden Termen muss daher schon früher stehen, beide Terme sind gleich, wie du selber schon bemerkt hast.
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> 2) Wieso gilt [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}[/mm]
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> [mm]\le[/mm] C [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm] mit C:=
> [mm]|\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}[/mm] ?
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> Dies würde ja auf die Ungleichung
> [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm]
> führen, welche aber keinen Sinn für mich ergibt.
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> Für eure Hilfe wäre ich dankbar!
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> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Mo 24.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt 1) ist mir nun völlig klar!
Zu Punkt 2) nochmals:
Im Forster steht die folgende Ungleichung:
[mm] \left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} \le [/mm] C [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] mit C:= [mm] |\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}?
[/mm]
Dies ist ja genau dann der Fall, wenn $ [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] $ ist.
Könnt ihr mir das vielleicht noch erläutern?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mi 26.07.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und vielen Dank für die ausführliche Antwort, Punkt
> 1) ist mir nun völlig klar!
>
> Zu Punkt 2) nochmals:
>
> Im Forster steht die folgende Ungleichung:
>
> [mm]\left|\alpha\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt} \le[/mm]
> C [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm] mit C:= [mm]|\alpha| \integral_{0}^{|x|}{(1-t)^{\alpha-1}dt}?[/mm]
>
> Dies ist ja genau dann der Fall, wenn
> [mm]\left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right|[/mm]
> ist.
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> Könnt ihr mir das vielleicht noch erläutern?
Für reelle Zahlen a und b gilt: $|ab|=|a||b|.$
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>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mi 26.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred,
> Für reelle Zahlen a und b gilt: [mm]|ab|=|a||b|.[/mm]
ja Danke, die Gleichheit ist mir bekannt.
Setze ich a = [mm] \vektor{\alpha-1\\n}, [/mm] b = [mm] x^{n} [/mm]
so ergibt sich mit |ab| = |a||b| :
[mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm] = [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x^{n}| [/mm] = [mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} [/mm]
Aber wo soll hier die Ungleichung
[mm] \left|\vektor{\alpha-1\\n}\right| |x|^{n} \le \left|\vektor{\alpha-1\\n}x^{n}\right| [/mm]
entstehen? War das ein Tippfehler? Denn der Fall "<" tritt ja eigentlich nie ein.
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo, X3nion,
ich hatte dir in meinem Beitrag schon mitgeteilt, dass du Recht hast: an der Stelle gilt die Gleichheit. Das [mm] \le [/mm] -Zeichen muss schon eine Umformung vorher kommen. Und zwar, weil
[mm] (|x|-u)^n \le|x|^n
[/mm]
ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 26.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo, X3nion,
>
> ich hatte dir in meinem Beitrag schon mitgeteilt, dass du
> Recht hast: an der Stelle gilt die Gleichheit. Das [mm]\le[/mm]
> -Zeichen muss schon eine Umformung vorher kommen. Und zwar,
> weil
>
> [mm](|x|-u)^n \le|x|^n[/mm]
>
> ist.
Hallo und Danke für die Aufklärung!
Ja das war ein kleines Missverständnis von meiner Seite aus, ich habe das "Du hast Recht" auf meine Anmerkung im ersten Beitrag bezogen, dass die Ungleichung keinen Sinn ergibt, aber die Tatsache mit der Betragsgleichung |ab| = |a||b| ist mir erst jetzt klar geworden und somit, warum die Ungleichung nicht stimmen kann.
Viele Grüße,
X3nion
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