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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Do 21.02.2008 | | Autor: | krisu112 |
Hallo,
bei der Berechnung eines Integrals ist bei mir ein Problem aufgetreten!
in der Integrationstabelle im Papula habe ich folgendes Integral gefunden:
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(ax)*cos(ax) dx}
[/mm]
zu diesem Integral habe ich dann 2 verschiedene Lösungen gefunden:
[mm] \bruch{sin^2(ax)}{2a}
[/mm]
[mm] \bruch{-cos^2(ax)}{2a}
[/mm]
Nach meiner Meinung und nach der meines Taschenrechners ;) sind diese nicht identisch!
Die erste Lösung konnte ich problemlos mit Hilfe der Substitution lösen, mein Rechner schlug mir die 2. Lösung vor, beim nachschlagen im Papula fand ich dann beide!
Vielleicht kann mir jemand erklären warum es hier diese 2. Lösung gibt und wie man darauf kommt.
Im Vorraus vielen Dank für eure Hilfe!!!!!!!!!!!
mfg
krisu
natürlich bleib ich nur diesem Forum treu!
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Hallo krisu,
> Hallo,
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> bei der Berechnung eines Integrals ist bei mir ein Problem
> aufgetreten!
> in der Integrationstabelle im Papula habe ich folgendes
> Integral gefunden:
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> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(ax)*cos(ax) dx}[/mm]
>
>
> zu diesem Integral habe ich dann 2 verschiedene Lösungen
> gefunden:
>
> [mm]\bruch{sin^2(ax)}{2a}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-cos^2(ax)}{2a}[/mm]
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> Nach meiner Meinung und nach der meines Taschenrechners ;)
> sind diese nicht identisch!
>
> Die erste Lösung konnte ich problemlos mit Hilfe der
> Substitution lösen, mein Rechner schlug mir die 2. Lösung
> vor, beim nachschlagen im Papula fand ich dann beide!
>
> Vielleicht kann mir jemand erklären warum es hier diese 2.
> Lösung gibt und wie man darauf kommt.
Auf die Stammfunktion [mm]\bruch{sin^2(ax)}{2a}[/mm] bist Du ja gekommen, in dem Du die Substitution [mm]z=\sin\left(ax\right)[/mm] angewendet hast.
Um auf die zweite Lösung zu kommen, benutzt man stattdessen die Subsitution [mm]z=\cos\left(ax\right)[/mm]
Nun, warum zwei Lösungen?
Der Integrand [mm]\sin\left(ax\right) \ \cos\left(ax\right)[/mm] läßt sich mit einem Additionstheorem etwas anders schreiben:
[mm]\sin\left(ax\right) \ \cos\left(ax\right)=\bruch{\sin\left(2ax\right)}{2}[/mm]
Dieses integriert ergibt:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(2ax\right)}{2} dx}=-\bruch{\cos\left(2ax\right)}{4a}+C[/mm]
Es gilt:
[mm]\cos\left(2ax\right)=2*\cos^2\left(ax\right)-1=1-2*\sin^2\left(ax\right)[/mm]
Daher gibt es auch diese zweite Lösung.
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> Im Vorraus vielen Dank für eure Hilfe!!!!!!!!!!!
>
> mfg
>
> krisu
>
> natürlich bleib ich nur diesem Forum treu!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 21.02.2008 | | Autor: | krisu112 |
Wie die 2. Lösung berechnet wird habe ich verstanden!
Der Teiler 4 erscheint mir auch logisch:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(2ax\right)}{2} dx}=-\bruch{\cos\left(2ax\right)}{4a}+C [/mm] $
trotzdem in meiner Lösung ist der Teiler 2:
$ [mm] \bruch{-cos^2(ax)}{2a} [/mm] $
Kann mir das jemand erklären, danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 21.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Wie die 2. Lösung berechnet wird habe ich verstanden!
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> Der Teiler 4 erscheint mir auch logisch:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(2ax\right)}{2} dx}=-\bruch{\cos\left(2ax\right)}{4a}+C[/mm]
>
> trotzdem in meiner Lösung ist der Teiler 2:
>
> [mm]\bruch{-cos^2(ax)}{2a}[/mm]
>
> Kann mir das jemand erklären, danke im Vorraus!
Es gilt die Doppelwinkelformel
cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x+sin²x-2sin²x=1-2sin²x.
Um zu deinem Ausgangsproblem zurückzukehren:
sin²x ist tatsächlich nicht das Gleiche wie -cos²x, sondern es ist 1-cos²x.
Für Stammfunktionen ist das aber egal.
Die Ableitungen von -cos²x. und 1-cos²x sind die gleichen (die Konstante 1 wird ja beim Ableiten zu Null)
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Do 21.02.2008 | | Autor: | krisu112 |
TIP TOP,
genau das habe ich gesucht!!!!!!!!!!!!!!!
Vielen Dank für die schnelle Hilfe
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