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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
hab ma n paar verständnisfragen zu der aufgabe:
warum das a? was macht das a mit meiner funktion? also ne fallunterscheidung is hier ja wohl nich sehr sinnvoll. aber ich muss es sicher beachten, oda? also nich nur als normale konstante? ich seh im moment nich, was das a ändert...
und wie is mein ansatz für die berechnung? bring ich f auf eine form, in der ich das int. mit der cauchyschen integralformel berechnen kann? also dann mit umformen etc oda is das der komplett falsche ansatz?
wär dankbar über ein paar anregungen, sg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Reicheinstein,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hi,
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> hab ma n paar verständnisfragen zu der aufgabe:
>
> warum das a? was macht das a mit meiner funktion? also ne
> fallunterscheidung is hier ja wohl nich sehr sinnvoll. aber
> ich muss es sicher beachten, oda? also nich nur als normale
> konstante? ich seh im moment nich, was das a ändert...
Nun, der Wert des Integrals hängt von dem Parameter a ab.
>
> und wie is mein ansatz für die berechnung? bring ich f auf
> eine form, in der ich das int. mit der cauchyschen
> integralformel berechnen kann? also dann mit umformen etc
> oda is das der komplett falsche ansatz?
Schreibe [mm]\sin\left(\theta\right)[/mm] um:
[mm]\sin\left(\theta\right)=\bruch{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}[/mm]
Und setze [mm]z=e^{i*\theta}[/mm].
>
> wär dankbar über ein paar anregungen, sg
Gruß
MathePower
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hi,
vielen dank für deine schnelle antwort. ich habs jetzt so gemacht, wie von dir gesagt. also ich hab dann das:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+a\bruch{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}} [/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+a\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}}}
[/mm]
und das hab ich dann umgeformt und bin auf folgedens gekommen:
[mm] 2i\integral_{}^{}{\bruch{z}{z(az+2i)-a}} [/mm] alternativ hab ich [mm] 2i\integral_{}^{}{\bruch{1}{2i+a(z-\bruch{1}{z})}}
[/mm]
bringt mir das überhaupt was? oda muss ich weiter suchen? ich muss das schon mit cauchy machen, oda? aber ich seh hier keinen pot. ansatz für seine formel : / vllt bin ich einfach nur zu blind, sry
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Hallo Reicheinstein,
> hi,
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> vielen dank für deine schnelle antwort. ich habs jetzt so
> gemacht, wie von dir gesagt. also ich hab dann das:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+a\bruch{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+a\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}}}[/mm]
Wenn Du [mm]z=e^{i*\theta}[/mm] setzt,
dann muß Du auch [mm]dz=i*e^{i*\theta} \ d\theta \Rightarrow d\theta=-i\bruch{dz}{z}[/mm] setzen.
Dann steht da:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+a\bruch{z-\bruch{1}{z}}{2i}}*-i\bruch{dz}{z}}[/mm]
>
> und das hab ich dann umgeformt und bin auf folgedens
> gekommen:
>
> [mm]2i\integral_{}^{}{\bruch{z}{z(az+2i)-a}}[/mm] alternativ hab ich
> [mm]2i\integral_{}^{}{\bruch{1}{2i+a(z-\bruch{1}{z})}}[/mm]
>
> bringt mir das überhaupt was? oda muss ich weiter suchen?
> ich muss das schon mit cauchy machen, oda? aber ich seh
> hier keinen pot. ansatz für seine formel : / vllt bin ich
> einfach nur zu blind, sry
Der Weg ist jetzt erstmal die Singularitäten auszurechnen,
und dann den Wert des Integrals mit Hilfe des Residuensatzes
zu berechnen.
Gruß
MathePower
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ahh, axo. sry, hab ich falsch verstanden mit der substitution. den residuensatz haben wir heute erst in der vl bekommen also isses nich vorgesehen, den zu benutzen. gehts denn von hier aus auch anders?
sg und danke
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Hallo Reicheinstein,
> ahh, axo. sry, hab ich falsch verstanden mit der
> substitution. den residuensatz haben wir heute erst in der
> vl bekommen also isses nich vorgesehen, den zu benutzen.
> gehts denn von hier aus auch anders?
> sg und danke
Natürlich kannst Du erst mal von dem Integranden
eine Stammfunkion in Abhängigkeit von a berechnen.
Dann mußt Du aber gegebenfalls mit komplexen Argumenten
der Arkus- bzw. Area-Funktionen operieren.
Gruß
MathePower
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hi,
ich habs ma einfach mit umformen und mit der substitution [mm] z=e^{i\theta} [/mm] versucht und bin auf folgendes int gekommen:
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{1}{2i+az(z-\bruch{1}{z})}}dz
[/mm]
also mich stört das 2i :/ kann man das evtl anders ausdrücken und auf eine durch die cif int'bare form bringen? oda durch weiteres zusammenfassen oda geschicktes ersetzen komplexer ausdrücke? ich versuchs schon die ganze zeit aber ich hab da einfach kein blick für. vllt einer von euch, sg
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Hallo Reicheinstein,
> hi,
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> ich habs ma einfach mit umformen und mit der substitution
> [mm]z=e^{i\theta}[/mm] versucht und bin auf folgendes int gekommen:
>
> [mm]2\integral_{}^{}{\bruch{1}{2i+az(z-\bruch{1}{z})}}dz[/mm]
Das Integral muß doch so lauten:
[mm]2\integral_{\vmat{z}=1}^{}\bruch{1}{2i*\red{z}+az*\left(z-\bruch{1}{z}\right)} \ dz[/mm]
[mm]=2\integral_{\vmat{z}=1}^{}\bruch{1}{az^{2}+2i*z-a} \ dz[/mm]
[mm]=\bruch{2}{a}*\integral_{\vmat{z}=1}^{}\bruch{1}{\left(z+\bruch{i}{a}\right)^{2}+\bruch{1-a^{2}}{a^{2}}} \ dz[/mm]
[mm]=\bruch{2}{a}*\integral_{\vmat{z}=1}^{}\bruch{1}{\left(z-z_{1}\right)\left(z-z_{2}\right)} \ dz[/mm]
Dann gibt es den Satz, wenn f holomorph in D \ c ist und ist
[mm]\summe_{\vu=-\infty}^{\infty\right)a_{\vu}*\left(z-c\right)^{vu}[/mm]
die Laurententwicklung in einer punktierten Kreisscheibe [mm]B^{\times}[/mm] um c,
dann gilt
[mm]a_{-1}=\bruch{1}{2\pi i}*\integral_{S}^{}{f\left(\xi\right) \ d\xi}[/mm]
, wobei S die Kreislinie ist.
Das nennt sich dann Residuum.
>
> also mich stört das 2i :/ kann man das evtl anders
> ausdrücken und auf eine durch die cif int'bare form
> bringen? oda durch weiteres zusammenfassen oda geschicktes
> ersetzen komplexer ausdrücke? ich versuchs schon die ganze
> zeit aber ich hab da einfach kein blick für. vllt einer von
> euch, sg
Gruß
MathePower
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hi, erstma danke für deine erneute mühe.
für die lösung dieser aufgabe habe wir aber offiziell weder laurententwicklung noch residuensatz zur verfügung. deswegen denk ich sollen wir umformen und substituieren und dann cif verwenden. da ihr aber schon soviel geschrieben habt möcht ich euch nich länger belästigen und versuchs selbst noch mal n bissl. falls jemand doch noch n lösungsvorschlag hat, der ohne residuum oda so auskommt, kann er ihn gerne bis morgen posten ; )
ansonsten vielen dank und sg
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Das a ist ein Parameter. Einfach als Konstante behandeln !
Für die Integration könnte auch die Substitution
[mm] t:=tan\left(\bruch{\theta}{2}\right)
[/mm]
nützlich sein.
LG Al-Chw.
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hi, danke für deine antwort aber gleich ne blöde frage hinterher: wo find ich mein [mm] tan(\bruch{\theta}{2})?
[/mm]
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> hi, danke für deine antwort aber gleich ne blöde frage
> hinterher: wo find ich mein [mm]tan(\bruch{\theta}{2})?[/mm]
Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst.
Ist deine Frage "wie kommt man darauf, gerade
diese Substitution zu versuchen ?" ?
Falls ja, könnte ich z.B. sagen, dass es ein ganzes
Sortiment interessanter Formeln mit dem Tangens
des halben Winkels gibt, die bei verschiedensten
Aufgaben nützlich sein können. Das ist eine Erfah-
rungstatsache (seit meiner Gymnasialzeit).
Diesmal bin ich aber darauf gekommen, weil ich
zuerst mal Mathematica auf dein Integral losge-
lassen und geschaut habe, was es ausspuckt.
Dies brachte mich auf die Idee mit dieser Substi-
tution. Ich bin mittlerweilen zur Tat geschritten
und habe (ohne jede weitere Hilfe) die Integration
mit Papier und Bleistift durchgeführt. Dabei waren
noch zwei weitere, leichter ersichtliche Substitu-
tionen nötig.
LG Al-Chwarizmi
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sry, wenn meine frage etwas schwammig formuliert war. ich meine, wir haben hier garkein t das wir substituieren könnten und auch kein [mm] tan(\bruch{\theta}{2}). [/mm] also nochma zum verständnis: was soll ich durch was ersetzen? sry, wenn ich mich so blöd anstelle...
ich hab das integral auch mal online lösen lassen mit mathematica, aber das ergebnis hat mich eher abgeschreckt als mich auf eine idee gebracht :/ sg
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> sry, wenn meine frage etwas schwammig formuliert war. ich
> meine, wir haben hier gar kein t das wir substituieren
> könnten und auch kein [mm]tan(\bruch{\theta}{2}).[/mm] also nochmal
> zum verständnis: was soll ich durch was ersetzen? sry, wenn
> ich mich so blöd anstelle...
Der Schlüssel liegt wie schon gesagt bei den Halb-
winkelformeln. Es gilt z.B.
[mm] sin(\theta)=\bruch{2*t}{1+t^2} [/mm] wobei [mm] t=tan\left(\bruch{\theta}{2}\right)
[/mm]
Für die Transformation der Differentiale braucht
man nun die Ableitung von $\ t$ nach [mm] \theta, [/mm] also
[mm] \bruch{dt}{d\theta}=\bruch{1}{cos^2\left(\bruch{\theta}{2}\right)}*\bruch{1}{2}
[/mm]
Glücklicherweise gibt es dann noch die Formel
[mm] \bruch{1}{cos^2(x)}=1+tan^2(x)
[/mm]
mit der man den aufgetretenen Cosinus ebenfalls
durch einen Term in $\ t$ ersetzen kann.
Man ist damit aber noch keineswegs am Ziel,
aber duch einen wichtigen Schritt weiter.
Al-Chw.
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danke. also ich bin dann auf folgendes int gekommen:
[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^{2}+2at+1}}dt [/mm] und nun partialbruchzerlegung? => [mm] t_{1/2}=-a\pm i\wurzel{1-a^{2}} [/mm] also bevor ich mir hier n wolf rechne frag ich lieber nochma nach ; )
sg
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> danke. also ich bin dann auf folgendes int gekommen:
>
> [mm]2\integral_{}^{}{\bruch{1}{t^{2}+2at+1}}dt[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und nun partialbruchzerlegung? => [mm]t_{1/2}=-a\pm i\wurzel{1-a^{2}}[/mm]
> also bevor ich mir hier n wolf rechne frag ich lieber
> nochma nach ; )
gud idee, nazufrang abr i wür aners vorgen:
form unnerm strich so um:
[mm] t^2+2at+1=t^2+2at+a^2+1-a^2=(t+a)^2+(1-a^2)
[/mm]
itz nexte subst: u:=t+a
mitr weitrn subistuziohn [mm] z:=\bruch{u}{\sqrt{1-a^2}} [/mm] komste den
zunm int des de kennn sölzt
Aal Kwerism
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:12 Mi 10.06.2009 | | Autor: | reverend |
haisch a chuz i pus,
dä klippis nuasch lächs ünkro ni siat. Gumma![[]](/images/popup.gif) hia unk likn lausch brecha ling spajäng lisch.
yo, man? r?
ever
end
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> öi kuuul Al, alda. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") chillig!
>
> echn schaafn süddialekt, ne. von hia aus jenfalz.
> hammich auschon gefraacht in wasfürn chett wer sin.
> aba maddemadisch fett kein einwand nich.
> was warn jezz einglich middem koschi?
hai revi,
den koschi brauchi liaba nu wöns ned anners get
un das xuchte innegral issja im relen unnich komblegs
haik aso ma reel vasucht - vilecht gez ja
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hi,
sry wenn ich mich noch mal melde. aber ich seh nich bei deiner substitution [mm] z=\bruch{u}{\wurzel{1-a^{2}}} [/mm] durch. wo steht das [mm] \bruch{u}{\wurzel{1-a^{2}}}, [/mm] dass ich substituieren soll?
sg
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> hi,
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> sry wenn ich mich noch mal melde. aber ich seh nich bei
> deiner substitution [mm]z=\bruch{u}{\wurzel{1-a^{2}}}[/mm] durch. wo
> steht das [mm]\bruch{u}{\wurzel{1-a^{2}}},[/mm] dass ich
> substituieren soll?
>
> sg
Hallo,
wenn du das $\ u$ schon eingeführt hast, steht im Nenner
des Integranden der Ausdruck
[mm] u^2+1-a^2
[/mm]
und der erinnert nun doch schon irgendwie an das
Integral
[mm] $\integral\bruch{1}{z^2+1}\ [/mm] dz\ =\ arctan(z)+C$
Um aus dem vorhandenen konstanten Summanden
[mm] 1-a^2 [/mm] die notwendige Eins zu machen, können wir
den Faktor [mm] \bruch{1}{1-a^2} [/mm] vor das Integral ziehen und
müssen dann natürlich auch das [mm] u^2 [/mm] ersetzen durch [mm] \bruch{u^2}{1-a^2}
[/mm]
Daraus ergibt sich die vorgeschlagene Substitution.
LG Al-Chw.
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alles klar, danke. ich werd dann nochma die musterlösung posten, wenn sie anders is ; )
sg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Für $0<a<1$ gilt
[mm] $\int\frac{1}{1+a\sin(\theta)}d\theta=\frac{2\arctan\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)+2a}{\sqrt{1-a^2}}\right)}{\sqrt{1-a^2}}$
[/mm]
und mit Deinen Grenzen erhälst Du
[mm] $\int\frac{1}{1+a\sin(\theta)}d\theta=\frac{2\pi}{\sqrt{1-a^2}}$
[/mm]
Ergänzung: Für $a>1$ wird das Ergebnis eine komplexe Zahl.
Gruß Denny
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Hallo Denny, ich habe deine Formeln ein bisschen
"frisiert", insbesondere das [mm] \theta [/mm] überall durch x ersetzt.
> Für [mm]0
>
> [mm]\int\frac{1}{1+a\sin(x)}dx=\frac{2\arctan\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)+2a}{\sqrt{1-a^2}}\right)}{\sqrt{1-a^2}}[/mm]
da kann man noch etwas kürzen ...
> und mit Deinen Grenzen erhältst Du
>
> [mm]\int_{x=0}^{x=2\pi}\frac{1}{1+a\sin(x)}dx=\frac{2\pi}{\sqrt{1-a^2}}[/mm]
>
> Ergänzung: Für [mm]a>1[/mm] wird das Ergebnis eine komplexe Zahl.
(dies interessiert hier eigentlich nicht, da 0<a<1 vorausgesetzt ist)
>
> Gruß Denny
Hallo,
das Einsetzen der Grenzen ist allerdings noch etwas
"tricky" ! Wenn man einfach die Grenzen $\ x=0$ und [mm] x=2\pi
[/mm]
einsetzt, kommt man auf das falsche Ergebnis Null
für das Integral.
Das kommt daher, dass die Funktion [mm] tan\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] in der
Mitte des Integrationsintervalls einen Pol mit Vorzei-
chenwechsel besitzt. Man muss deshalb das Integral
in zwei "uneigentliche" Integrale aufsplitten.
LG Al-Chwarizmi
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also was raus kommt weiß ich auch. ich bräuchte den lösungsweg dahin :/ ohne residuum und laurent etc.
trotzdem danke, sg
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> also was raus kommt weiß ich auch. ich bräuchte den
> lösungsweg dahin :/ ohne residuum und laurent etc.
>
> trotzdem danke, sg
Hallo Reicheinstein,
wie du (hoffentlich) schon gemerkt hast, funktioniert
der Lösungsweg, den ich beschrieben habe, rein im
Reellen und also ohne Cauchy, Laurent und Residuen.
Was fehlt dir denn noch zum kompletten Lösungsweg ?
(Ich meine, ihn ziemlich vollständig skizziert zu haben)
LG Al-Chw.
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ja, das stimmt. er funktioniert und ich bin dir dafür auch dankbar. aber ich glaube nich, dass der aufgabensteller die aufgabe so gelöst haben will. ich beschwere mich jetzt hiermit nich, um gottes willen. ich bin voll zufrieden mit deinem lösungsweg. wie gesagt, wir sollen das sicher anders lösen. ich bin ma gespannt auf die musterlösung. dann kann ich ja hier nochma posten, was die von uns sehen wollten :)
danke nochma und schöne grüße!
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seht und lernt mathe :P (spaß!!! nich ernst nehmen ;))
[Dateianhang nicht öffentlich]
falls es noch einen interessiert, sg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
