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Hi,
auf folgende Aufgabe bin ich beim lernen gestossen:
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{1+e^x} dx}$
[/mm]
Ich habe es schon mal mit substitution versucht, bin aber nicht weit gekommen. Da es meiner Meinung nach keine Vereinfachung bringt. Ich erhalte dann wieder einen Bruch der sich nicht integrieren lässt.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Starkeeper
Versuch mal die Substitution [mm] t=e^{x} [/mm]
Probier erstmal alleine auf die Lösung zu kommen. Wenn du nicht weiterkommst , dann melde dich noch mal und ich werd dir die Lösung ein wenig ausführlicher erklären!
Gruß Fabian
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Also ich substituiere $ [mm] u=e^x [/mm] $
Dann komme ich soweit:
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{1+e^x} dx} [/mm] $
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{2x}}{(1+u)*e^x} du} [/mm] $
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{e^{x}}{1+u} du} [/mm] $
kann man das so machen?
$ I = [mm] \integral_{}^{} {\bruch{u}{1+u} du} [/mm] $
Aber wie ich das nun integriere, weiss ich nicht. Soweit war ich auch, bevor ich den Thread aufgemacht hatte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo starkeeper,
die  Subsitutionsregel lautet ja:
[mm] $\int_a^b f\left(g(x)\right) \cdot [/mm] g'(x) dx = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} [/mm] f(t) dt$
Mit [mm] $fx)=\frac{x}{1+x}$ [/mm] und [mm] $g(x)=e^x$ [/mm] mit [mm] $g'(x)=e^x$ [/mm] gilt dann:
[mm] $\int_a^b \frac{e^{2x}}{1+e^x}=\int_a^b \frac{e^x}{1+e^x}\cdot e^x [/mm] dx = [mm] \int_a^b \frac{g(x)}{1+g(x)}\cdot [/mm] g'(x) dx = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} \frac{t}{1+t}dt [/mm] = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} \frac{(1+t)-1}{1+t}dt [/mm] = [mm] \int_{f(a)}^{f(b)} \left( 1 - \frac{1}{1+t}\right)dt [/mm] = [mm] \cdots$
[/mm]
Du hast also bisher alles richtig gemacht, du musst jetzt nur noch das Integral lösen...
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Di 24.05.2005 | | Autor: | starkeeper |
Also als Ergebnis erhalte ich nun:
$ I = [mm] e^x [/mm] - ln|1 + [mm] e^x| [/mm] $
Danke allen Helfern!
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