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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mo 13.06.2005 | | Autor: | hooover |
Hallo und schönen guten abend
hab mal ne frage
undzwar sollte hier der flächeninhalt durch die substitutionsmethode bestimmt werden
komme aber nicht weiter
hier mal die aufgabe
[mm] \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{4}} {(sin(x))^2 cos (x) dx}
[/mm]
Sub.: z=sin(x)
z'= [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -cos(x)
dx= [mm] \bruch{dz}{-cos(x)}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{4}} {(z)^2 cos (x) dx}
[/mm]
stimmt das bis jetzt?
danke schon mal
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Hallo hooover!
Bis jetzt ist alles goldrichtig. dx hast du ja auch schon bestimmt, und wenn du das noch ersetzt, wirst du sehen, dass sich da wunderbarerweise noch der letzte störende Rest wegkürzen wird!!
Eine Anmerkung noch. Wenn du substituierst, musst du formal gesehen auch die Grenzen mitsubstituieren, was sich später normalerweise als unnütz herausstellt, weil du wieder resubstituierst, aber formal muss es sein. Außerdem kannst du, wenn du die Grenzen mitsubstituierst, auch sofort den Wert berechnen und musst nicht mehr resubstituieren.
Andere Möglichkeit um dies zu umgehen, erstmal unbestimmtes Integral (also ohne Grenzen) berechnen, und später einsetzen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 13.06.2005 | | Autor: | hooover |
> Hallo hooover!
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> Bis jetzt ist alles goldrichtig. dx hast du ja auch schon
> bestimmt, und wenn du das noch ersetzt, wirst du sehen,
> dass sich da wunderbarerweise noch der letzte störende Rest
> wegkürzen wird!!
sieht das denn etwa so aus
[mm] \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{4}} {(z)^2 \bruch{cosx}{-cosx}dz}
[/mm]
und gekürzt so ???????
[mm] \integral_{0}^{ \bruch{ \pi}{4}} {(z)^2 dz}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Mo 13.06.2005 | | Autor: | hooover |
die grenzen sind die oder
[mm] z_{unten}=sin(0)=0
[/mm]
[mm] z_{oben}=sin( \bruch{ \pi}{4})=0,014
[/mm]
kann das stimmen??
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Stimmt fast! Wo ist denn das Minuszeichen geblieben? Ansonsten aber richtig.
Bei den Grenzen musst du aufpassen! Die untere stimmt, aber die obere nicht.
Wenn ich das richtig sehe, hast du deinen Taschenrechner auf Grad (deg, vermutlich in der Anzeige) eingestellt. Du musst ihn aber auf Radiant (rad) einstellen, oder [mm] \pi [/mm] /4 in einen Winkel umrechnen. Das sind dann 90°.
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 13.06.2005 | | Autor: | hooover |
war auf deg
mit rad kommt 0,71 raus, für die obere grenze
also so ja
[mm] \integral_{0}^{0,71} {-(z)^2 dz}
[/mm]
F(z)= - [mm] \bruch{1}{3}(z)^3
[/mm]
F(0)=0
F(0,71)=-0,12
da stimmt was nicht denk ich
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Mir ist noch ein kleiner Fehler ganz am Anfang aufgefallen! Die Ableitung von sin x ist cos x, nicht - cos x!! Sorry, hab ich total übersehen, damit fällt in allen Schritten das Minuszeichen einfach weg!
> war auf deg
>
> mit rad kommt 0,71 raus, für die obere grenze
Ums genauer zu machen, das [mm] ist\bruch{\wurzel {2}}{2}
[/mm]
>
> also so ja
>
> [mm]\integral_{0}^{0,71} {-(z)^2 dz}[/mm]
>
> F(z)= - [mm]\bruch{1}{3}(z)^3[/mm]
Soweit in Ordnung
>
> F(0)=0
>
> F(0,71)=-0,12
näherungsweise auch ok (besser halt mit dem exakten Wert rechnen, aber net so schlimm)
>
> da stimmt was nicht denk ich
Hier versteh ich jetzt nicht, warum. Es gilt doch:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} = F(a)-F(b)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Di 14.06.2005 | | Autor: | hooover |
> > mit rad kommt 0,71 raus, für die obere grenze
>
> Ums genauer zu machen, das [mm]ist\bruch{\wurzel {2}}{2}[/mm]
wie kommt man darauf
das sieht sehr gut
denn die lösung ist
[mm] \bruch{1}{12} \wurzel{12}
[/mm]
aber wie komm ich denn darauf??
schon mal vielen dank für die gute hilfe
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Vermutlich nur ein Tippfehler von dir, aber das sind doch [mm] \bruch{\wurzel{2}}{12}?!?
[/mm]
Ich hab auch bei mir noch einen Fehler entdeckt, das [mm] \pi/4 [/mm] sind nämlich nicht 90°, wie behauptet habe, sondern 45°.
Ich kann dir ne Herleitung dafür sagen:
Nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a=b=1. Die Hypothenuse c ist nach Pythagoras dann c = [mm] \wurzel {1^2+1^2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Der sinus ist ja definiert als Gegenkathete durch Hypothenuse, also
sin [mm] \alpha [/mm] = a/c = [mm] \bruch {1}{\wurzel {2}}= \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Warum [mm] \pi [/mm] /4 45° entsprechen, dazu müsste man sich einen Kreis anschauen. Da ist eine Umrundung als [mm] 2\pi [/mm] definiert und das sind gerade 360°.
Bis dann
Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Di 14.06.2005 | | Autor: | hooover |
also ist
F( [mm] \bruch{1}{3}( \bruch{ \wurzel{2}}{2})^3)
[/mm]
oder?
ich komme mit diesen wurzel umformen nich so richtig klar
daraus wird also
[mm] \bruch{ \wurzel{2}}{12}
[/mm]
kannste mir vielleicht noch einen zwischenschritt zeigen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Di 14.06.2005 | | Autor: | frieda |
[mm] \bruch{1}{3}* (\bruch{\wurzel{2}}{2})^3
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}* \bruch{\wurzel{2}^3}{2^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}* \bruch{\wurzel{2}*\wurzel{2}*\wurzel{2}}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3*8}* 2*\wurzel{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{2}}{12}
[/mm]
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