Integration & Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mo 13.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx} [/mm] |
Hallo,
folgender Lösungsweg liegt vor:
[mm] \limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx} [/mm] + [mm] \limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx} [/mm] =
[mm] \limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{(-x+1)^{-\bruch{2}{3}} dx} [/mm] + [mm] \limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{(x-1)^{-\bruch{2}{3}} dx}=
[/mm]
[mm] \limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[t_1 [/mm] & 0 einsetzen] + [mm] \limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(x-1)^{\bruch{1}{3}} [/mm] [9 & [mm] t_2 [/mm] einsetzen] =
[3] [mm] -[\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-t_1+1)^{\bruch{1}{3}}] [/mm] + [6] [mm] -[\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(t_2-1)^{\bruch{1}{3}}] [/mm] = 9
Meine Frage ist nun, warum wird von der ersten zur zweiten Zeile das (x-1) zu (-x+1) und warum wird im nächsten Schritt der Koeffizient -3 und nicht 3 ?
Danke schonmal, würdet eine Wichte Sache für meine Morgige Prüfung klären.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Sypher |
Warum aus (x-1) dann (-x+1) gemacht wird nach der Aufleitung kann ich nicht sagen, aber die -3 muss sein, da bei der Ableitung von [mm] (-x+1)^{-\bruch{2}{3}} [/mm] zusätzlich noch die innere Ableitung dazu multipliziert wird, also -1.
Sonst würde es [mm] -(-x+1)^{-\bruch{2}{3}} [/mm] werden, was nicht mehr das gleiche wäre..
Hoffe ich konnte helfen, zu dem anderen Problem, muss sich wohl jmd anderes melden..
Deswegen markiere ich es mal als "fehlerhaft", damit sich noch wer meldet
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Mo 13.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Ist ein Anfang ;) danke schonmal dafür, das hatte wirklich nicht beachtet
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> [mm]\integral_{0}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
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> Hallo,
> folgender Lösungsweg liegt vor:
> [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> =
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> [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{(-x+1)^{-\bruch{2}{3}} dx}[/mm]
> + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{(x-1)^{-\bruch{2}{3}} dx}=[/mm]
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> [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[t_1[/mm] & 0
> einsetzen] + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(x-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> [9 & [mm]t_2[/mm] einsetzen] =
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> [3] [mm]-[\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-t_1+1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> + [6] [mm]-[\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(t_2-1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> = 9
>
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> Meine Frage ist nun, warum wird von der ersten zur zweiten
> Zeile das (x-1) zu (-x+1) und warum wird im nächsten
> Schritt der Koeffizient -3 und nicht 3 ?
naja, ob das maschinell bearbeitet wurde oder so?! n grund dafür gibt es eigentlich nicht, denn [mm] (x-1)^2=(-x+1)^2 [/mm] kann man also schreiben wie man will im endeffekt. normal fuckelt man da aber nicht mit den vorzeichen rum.
dann zur -3:
entweder siehst du das beim substituieren, oder wenn du von dem rechten integral ausgehst:
[mm] 3(x-1)^{\bruch{1}{3}}=3(-1*(-x+1))^{\bruch{1}{3}}=3*(-1)^{\bruch{1}{3}}^*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}=-3*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
>
>
> Danke schonmal, würdet eine Wichte Sache für meine
> Morgige Prüfung klären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mo 13.07.2009 | | Autor: | abakus |
> > [mm]\integral_{0}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
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> > Hallo,
> > folgender Lösungsweg liegt vor:
> > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> > + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> > =
> >
> > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{(-x+1)^{-\bruch{2}{3}} dx}[/mm]
> > + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{(x-1)^{-\bruch{2}{3}} dx}=[/mm]
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> > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[t_1[/mm] & 0
> > einsetzen] + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(x-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> > [9 & [mm]t_2[/mm] einsetzen] =
> >
> > [3] [mm]-[\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-t_1+1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> > + [6] [mm]-[\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(t_2-1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> > = 9
> >
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> > Meine Frage ist nun, warum wird von der ersten zur zweiten
> > Zeile das (x-1) zu (-x+1) und warum wird im nächsten
> > Schritt der Koeffizient -3 und nicht 3 ?
> naja, ob das maschinell bearbeitet wurde oder so?! n grund
> dafür gibt es eigentlich nicht, denn [mm](x-1)^2=(-x+1)^2[/mm] kann
> man also schreiben wie man will im endeffekt. normal
> fuckelt man da aber nicht mit den vorzeichen rum.
Muss man hier aber. Genau so, wie z.B. [mm] \wurzel{a^2}=a [/mm] für a>0 und [mm] \wurzel{a^2}=-a [/mm] für a<0 gilt, kann man hier für die gesuchte dritte Wurzel nicht einfach den Term nehmen, der einem als ersten über den WEg läuft. Da hier im ersten Integral x zwischen 0 und 1 liegt, ist 1-x positiv und x-1 negativ. Letzteres widerspricht dem Definitionsbereich des Wurzelterms.
Gruß Abakus
>
> dann zur -3:
> entweder siehst du das beim substituieren, oder wenn du
> von dem rechten integral ausgehst:
>
> [mm]3(x-1)^{\bruch{1}{3}}=3(-1*(-x+1))^{\bruch{1}{3}}=3*(-1)^{\bruch{1}{3}}^*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}=-3*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
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> > Danke schonmal, würdet eine Wichte Sache für meine
> > Morgige Prüfung klären.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mo 13.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> > > [mm]\integral_{0}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
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> > > Hallo,
> > > folgender Lösungsweg liegt vor:
> > > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> > > + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> > > =
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> > > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{(-x+1)^{-\bruch{2}{3}} dx}[/mm]
> > > + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{(x-1)^{-\bruch{2}{3}} dx}=[/mm]
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> > > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[t_1[/mm] & 0
> > > einsetzen] + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(x-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> > > [9 & [mm]t_2[/mm] einsetzen] =
> > >
> > > [3] [mm]-[\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-t_1+1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> > > + [6] [mm]-[\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(t_2-1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> > > = 9
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> > >
> > > Meine Frage ist nun, warum wird von der ersten zur zweiten
> > > Zeile das (x-1) zu (-x+1) und warum wird im nächsten
> > > Schritt der Koeffizient -3 und nicht 3 ?
> > naja, ob das maschinell bearbeitet wurde oder so?! n
> grund
> > dafür gibt es eigentlich nicht, denn [mm](x-1)^2=(-x+1)^2[/mm] kann
> > man also schreiben wie man will im endeffekt. normal
> > fuckelt man da aber nicht mit den vorzeichen rum.
> Muss man hier aber. Genau so, wie z.B. [mm]\wurzel{a^2}=a[/mm] für
> a>0 und [mm]\wurzel{a^2}=-a[/mm] für a<0 gilt, kann man hier für
> die gesuchte dritte Wurzel nicht einfach den Term nehmen,
> der einem als ersten über den WEg läuft. Da hier im
> ersten Integral x zwischen 0 und 1 liegt, ist 1-x positiv
> und x-1 negativ. Letzteres widerspricht dem
> Definitionsbereich des Wurzelterms.
> Gruß Abakus
mh.. is vielleicht schon etwas spät oder ich vertue mich generell: der radikant wird quadriert, und dann davon die 3. wurzel gezogen. wüsste jetzt nicht wo ich da auf den def-bereich achten sollte?!
>
> >
> > dann zur -3:
> > entweder siehst du das beim substituieren, oder wenn du
> > von dem rechten integral ausgehst:
> >
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> [mm]3(x-1)^{\bruch{1}{3}}=3(-1*(-x+1))^{\bruch{1}{3}}=3*(-1)^{\bruch{1}{3}}^*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}=-3*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
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> > > Danke schonmal, würdet eine Wichte Sache für meine
> > > Morgige Prüfung klären.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mo 13.07.2009 | | Autor: | abakus |
> > > > [mm]\integral_{0}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
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> > > > Hallo,
> > > > folgender Lösungsweg liegt vor:
> > > > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> > > > + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{\bruch{1}{\wurzel[3]{(x-1)^2}} dx}[/mm]
> > > > =
> > > >
> > > > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} \integral_{0}^{t_1}{(-x+1)^{-\bruch{2}{3}} dx}[/mm]
> > > > + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} \integral_{t_2}^{9}{(x-1)^{-\bruch{2}{3}} dx}=[/mm]
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> > > >
> > > > [mm]\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[t_1[/mm] & 0
> > > > einsetzen] + [mm]\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(x-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> > > > [9 & [mm]t_2[/mm] einsetzen] =
> > > >
> > > > [3] [mm]-[\limes_{t_1 \rightarrow 1} -3(-t_1+1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> > > > + [6] [mm]-[\limes_{t_2 \rightarrow 1} 3(t_2-1)^{\bruch{1}{3}}][/mm]
> > > > = 9
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> > > > Meine Frage ist nun, warum wird von der ersten zur zweiten
> > > > Zeile das (x-1) zu (-x+1) und warum wird im nächsten
> > > > Schritt der Koeffizient -3 und nicht 3 ?
> > > naja, ob das maschinell bearbeitet wurde oder so?! n
> > grund
> > > dafür gibt es eigentlich nicht, denn [mm](x-1)^2=(-x+1)^2[/mm] kann
> > > man also schreiben wie man will im endeffekt. normal
> > > fuckelt man da aber nicht mit den vorzeichen rum.
> > Muss man hier aber. Genau so, wie z.B. [mm]\wurzel{a^2}=a[/mm]
> für
> > a>0 und [mm]\wurzel{a^2}=-a[/mm] für a<0 gilt, kann man hier für
> > die gesuchte dritte Wurzel nicht einfach den Term nehmen,
> > der einem als ersten über den WEg läuft. Da hier im
> > ersten Integral x zwischen 0 und 1 liegt, ist 1-x positiv
> > und x-1 negativ. Letzteres widerspricht dem
> > Definitionsbereich des Wurzelterms.
> > Gruß Abakus
> mh.. is vielleicht schon etwas spät oder ich vertue mich
> generell: der radikant wird quadriert, und dann davon die
> 3. wurzel gezogen. wüsste jetzt nicht wo ich da auf den
> def-bereich achten sollte?!
Um die Stammfunktion zu bilden, schreibst du den Spaß um in [mm] (...)^{-2/3}.
[/mm]
Diesem Term sieht man nicht mehr an, ob es die dritte Wiurzel aus einem Quadrat ist (was immer geht) oder das Quadrat einer dritten Wurzel (die ich nur aus nichtnegativen Zahlen ziehen darf). Wenn du dann die Stammfunktion bildest, erhältst du [mm] (...)^{1/3} [/mm] - und da kannst du eindeutig Ärger mit dem Definitionsbereich bekommen.
Gruß Abakus
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> > > dann zur -3:
> > > entweder siehst du das beim substituieren, oder wenn
> du
> > > von dem rechten integral ausgehst:
> > >
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> >
> [mm]3(x-1)^{\bruch{1}{3}}=3(-1*(-x+1))^{\bruch{1}{3}}=3*(-1)^{\bruch{1}{3}}^*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}=-3*(-x+1)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
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> > > > Danke schonmal, würdet eine Wichte Sache für meine
> > > > Morgige Prüfung klären.
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