Integration Treppenfunktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mi 23.04.2008 | | Autor: | manmath |
| Aufgabe | | Sei b>1. Berechne [mm] \integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] aus der Definition des Integrals, ohne den Hauptsatz und Kenntnis einer Stammfunktion zu f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] vorauszusetzen. Benutze dazu die Unterteilungen 1 < [mm] b^{\bruch{1}{n}}< [/mm] ....< [mm] b^{\bruch{n-1}{n}} [/mm] <b des Intervalls 1,b (in eckigen Klammern). |
Folgende Lösung habe ich versucht: Die Treppenfunktion hat als Intervallbreite [mm] b^{\bruch{k}{n}} [/mm] - [mm] b^{\bruch{k-1}{n}} [/mm] und den Funktionswert
[mm] b^{-\bruch{k}{n}} [/mm] von der Funktion 1/x.
Das gesuchte Integral oben soll gleich sein [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} (b^{\bruch{k}{n}} [/mm] - [mm] b^{\bruch{k-1}{n}} )b^{-\bruch{k}{n}}
[/mm]
Wenn ich die Klammer ausmultipliziere kommt aber heraus [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} [/mm] (1 - [mm] b^{-\bruch{1}{n}} [/mm] ) und das ergibt 0. Als Ergebnis würde ich erwarten ln b (mit Stammfunktion ausgerechnet) bzw. eine Reihenentwicklung von ln b.
Was ist falsch?
Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Blech |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}(1 - b^{-\bruch{1}{n}})[/mm] und das ergibt 0.
Nein.
[mm] $\lim_{n\to\infty}n(1-b^{-\frac1n})=\ln(b)$ [/mm] =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Mathek |
könntest du vielleicht nochmal erklären wieso [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (1- [mm] b^{-1/n} [/mm] )
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n (1 - [mm] b^{-1/n} [/mm] )
ergibt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 So 27.04.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi Mathek.
Das "n" in deiner Summe ist doch nicht die Variable, sondern die obere Grenze deiner Summe.
Somit ist doch [mm] \summe_{k=1}^{n}(1-b^{1/n}) [/mm] = [mm] n(1-b^{1/n})
[/mm]
Gruss Alexis
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