Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 12.02.2008 | | Autor: | mana |
| Aufgabe | | Man berechne: [mm] \integral_{-\infty}^{-2/\pi}{1/t²cos 1/t dt} [/mm] |
mit der Substitution von 1/t = z
habe ich das raus:
[mm] -\integral_{-\infty}^{-2/\pi}cos [/mm] z dz
[mm] =\limes_{a\rightarrow-\infty}-sin [/mm] z mit den Grenzen a und [mm] -2/\pi
[/mm]
ist das bisher richtig? und wie mache ich das mit der unteren Grenze? die Sinusfunktion ist doch periodisch und liegt zwischen -1 und 1. Was kommt also da raus??
mfg Mana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Man berechne: [mm]\integral_{-\infty}^{-2/\pi}{1/t²cos 1/t dt}[/mm]
>
> mit der Substitution von 1/t = z
> habe ich das raus:
>
> [mm]-\integral_{-\infty}^{-2/\pi}cos[/mm] z dz
>
> [mm]=\limes_{a\rightarrow-\infty}-sin[/mm] z mit den Grenzen a und
> [mm]-2/\pi[/mm]
>
> ist das bisher richtig? und wie mache ich das mit der
> unteren Grenze? die Sinusfunktion ist doch periodisch und
> liegt zwischen -1 und 1. Was kommt also da raus??
>
> mfg Mana
>
Bei der Substitution müssen auch die Grenzen mitsubstituiert werde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 12.02.2008 | | Autor: | mana |
| Aufgabe | | so jetzt habe ich es rücksubstituiert, was ich eben total vergessen hatte. |
= [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty} [/mm] -sin 1/t mit den Grenzen a und [mm] -2/\pi
[/mm]
[mm] =\limes_{a\rightarrow-\infty} [/mm] (-sin 1/a) - (-sin - [mm] \pi/2) [/mm] = 0-1=-1
ist das jetzt richtig?
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> so jetzt habe ich es rücksubstituiert, was ich eben total
> vergessen hatte.
> = [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}[/mm] -sin 1/t mit den Grenzen a
> und [mm]-2/\pi[/mm]
>
> [mm]=\limes_{a\rightarrow-\infty}[/mm] (-sin 1/a) - (-sin - [mm]\pi/2)[/mm] =
> 0-1=-1
>
> ist das jetzt richtig?
Hallo, fast richtig. Du meinst sicherlich: [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty}(-sin\bruch{1}{\bruch{-2}{\pi}})-(-sin \bruch{1}{a}) = -sin\bruch{-\pi}{2} - 0 = 1[/mm]
Du musst ja erst die größere Grenze einsetzen und dann die kleinere davon abziehen.
Gruß,
DerVogel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Di 12.02.2008 | | Autor: | mana |
ja genau so meinte ich das eigentlich auch  )
ist etwas spät am Abend .....
Danke nochmal
mfg
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mana hat es schon richtig gemacht mit dem einsetzen. Mann soll ja [mm] \bruch{-2}{\pi} [/mm] für t einsetzen:
[mm] -\sin\left(\bruch{1}{t}\right) [/mm] = [mm] -\sin\left(\bruch{1}{\bruch{-2}{\pi}}\right) [/mm] = [mm] -\sin\left(-\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] = 1
Ihr müsst obere Grenze minus untere Grenze rechnen, und dann kommt man auch auf das richtige Ergebnis 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Di 12.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Das einfachste ist du machst garkeine transformierung der Grenzen du musst doch das Integral über [mm] \cos [/mm] z berechen
die Stammfuntkion davon ist [mm] \sin [/mm] z + c
Jetzt machst du deine Rücksubstitution mit z=1/t glaub ich hast du substituiert ==>
Das Ergebnis lautet [mm] \sin (\bruch{1}{x})+c [/mm]
Jetzt einfach den festen wert einsetzen und für die unendlichkeits komponente eine Variable b
Dann hast du was von der Form
Integral [mm] gleich=-(\sin(\bruch{1}{-2/\pi})-\sin (\bruch{1}{b}))=-(-1-\sin (\bruch{1}{b})))
[/mm]
[mm] =1+\sin (\bruch{1}{b})
[/mm]
Jetzt lässt du b gegen minus unendlich gehen und siehst, dass der sinus-Term gegen null geht.==> Das integral hat den Wert 1.
Also diese Integrationsgrenzen musst du gar nicht wechseln wenn du das integral lösen kannst, da ist dass nämlich nur nunnötiges rummgemache.
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