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| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral mit Hilfe der Generalsubstitution [mm]u: x \to \tan(\frac{x}{2})[/mm]
[mm] \integral_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\frac{1}{1-\cos x} dx}
[/mm]
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Hallo,
ich scheitere mal wieder an der Integration durch Substitution.
Mit was muss ich hier Subsitutieren? Wenn ich [mm]\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/mm] und [mm]dx=\frac{2}{1+t^2} \cdot dt[/mm] substituiere, komm ich nicht weiter wenn ich die Grenzen anpassen will.
Meine neuen Grenzen berechne ich indem ich [mm]\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/mm] nach t auflöse. Dafür bekomme ich [mm]t=\pm{\frac {\sqrt {- \left( \cos \left( x \right) +1 \right) \left(\cos \left( x \right) -1 \right) }}{\cos \left( x \right) +1}}[/mm]
Setze ich hierfür die untere Grenze mit [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ein bekommen ich entweder +1 oder -1. Das wäre ja okay. Aber für die obere Grenze mit [mm]\pi[/mm] bekomme ich ein Problem weil der Nenner 0 ergeben würde.
Wie komme ich an dieser Stelle weiter?
Zu dieser Art von Aufgaben noch eine weitere Frage: Bei dem Grenzen anpassen bekommen ich ja öfters solche Formeln wie oben, also mit [mm]\pm[/mm]. Für welche Grenze nehm ich dann die positive Formel und für welche Grenze die negative? Oder ist es egal weil ich am Schluss den Betrag von meinem bestimmten Integral nehmen könnte?
Ich hoffe meine Fragen sind verständlich und es kann mir jemand helfen.
Liebe Grüße
hackbert-celine
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Hallo Stephan,
> Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral mit Hilfe der
> Generalsubstitution [mm]u: x \to \tan(\frac{x}{2})[/mm]
>
> [mm]\integral_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{\frac{1}{1-\cos x} dx}[/mm]
>
>
> Hallo,
> ich scheitere mal wieder an der Integration durch
> Substitution.
>
> Mit was muss ich hier Subsitutieren? Wenn ich [mm]\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wieso nimmst du nicht die oben angegebene Substitution $u:=\tan\left(\frac{x}{2\right)$ ?
Dann ist $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$, also $dx=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \ du$
Dann kannst du dir das Additionstheorem für den Cosinus zu Nutze machen: $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ und das $\cos(x)$ im Nenner umschreiben in
$\cos(x)=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$
Dann kannst du noch die 1 im Nenner schreiben als $1=\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)$
Dann steht im Nenner $1-\cos(x)=2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$
Wenn du das alles ins Integral packst, bekommst du $\int{\frac{1}{1-\cos(x)} \ dx}=\int{\frac{1}{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} \ 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \ du}=\int{\frac{cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}{sin^2\left(\frac{x}{2}\right)} \ du}=\int{\frac{1}{\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} \ du}=\int{\frac{1}{u^2} \ du}$
Das kannst du nun entweder unbestimmt lösen, dann resubstituieren und die alten Grenzen verwenden oder die Grenzen mitsubstituieren:
Die untere war $x=\frac{\pi}{2}$, daraus wird $u=\tan\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$
Die obere war $x=\pi$, damit $u=\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)=\infty$ (da du dich von links näherst)
Berechne also $\int\limits_{1}^{\infty}{\frac{1}{u^2} \ du}=\lim\limits_{a\to\infty}\int\limits_{1}^{a}{\frac{1}{u^2} \ du}$
LG
schachuzipus
> und [mm]dx=\frac{2}{1+t^2} \cdot dt[/mm] substituiere, komm ich
> nicht weiter wenn ich die Grenzen anpassen will.
>
> Meine neuen Grenzen berechne ich indem ich [mm]\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/mm]
> nach t auflöse. Dafür bekomme ich [mm]t=\pm{\frac {\sqrt {- \left( \cos \left( x \right) +1 \right) \left(\cos \left( x \right) -1 \right) }}{\cos \left( x \right) +1}}[/mm]
>
> Setze ich hierfür die untere Grenze mit [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ein
> bekommen ich entweder +1 oder -1. Das wäre ja okay. Aber
> für die obere Grenze mit [mm]\pi[/mm] bekomme ich ein Problem weil
> der Nenner 0 ergeben würde.
>
> Wie komme ich an dieser Stelle weiter?
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> Zu dieser Art von Aufgaben noch eine weitere Frage: Bei dem
> Grenzen anpassen bekommen ich ja öfters solche Formeln wie
> oben, also mit [mm]\pm[/mm]. Für welche Grenze nehm ich dann die
> positive Formel und für welche Grenze die negative? Oder
> ist es egal weil ich am Schluss den Betrag von meinem
> bestimmten Integral nehmen könnte?
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> Ich hoffe meine Fragen sind verständlich und es kann mir
> jemand helfen.
>
> Liebe Grüße
> hackbert-celine
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vielen Dank für deine schnelle Hilfe...
So kam ich jetzt zum Ziel.
Liebe Grüße
hackbert-celine
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