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Forum "Integralrechnung" - Integration einer Funktion
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Integration einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Di 18.04.2006
Autor: Substituierer

Ich soll eine Funktion f(x)=ln(x) / wurzel(x) um die x-Achse mit rotieren lassen. Als Grenzen gelten e² und [mm] e^1. [/mm] Problem ist nur die Funktion (ln(x))² / x zu integrieren. Nach welcher Regel soll ich das machen?
Vielen lieben Dank für eine Antwort.
David

        
Bezug
Integration einer Funktion: Integration d. Substitution!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Di 18.04.2006
Autor: Disap

Moin.

> Ich soll eine Funktion f(x)=ln(x) / wurzel(x) um die
> x-Achse mit rotieren lassen. Als Grenzen gelten e² und [mm]e^1.[/mm]
> Problem ist nur die Funktion (ln(x))² / x zu integrieren.
> Nach welcher Regel soll ich das machen?

Den ersten Term, ohne es zu quadrieren, wäre eigentlich viel schöner (vermutlich daher, weil ich das Quadrieren vergessen habe)

<unwichtig>
Nach der partiellen Integration.
Mit dem Wissen, dass $[ ln(x) ] ' = [mm] x^{-1} [/mm] $ geht das.

Die Regel dafür lautet

$ F(x) = u*v - [mm] \int [/mm] u'*v $
  
$u = ln(x)$

$u' = [mm] x^{-1}$ [/mm]

$v' = [mm] \br{1}{\wurzel{x}}= x^{-0.5}$ [/mm] // Potenzgesetz

v = [mm] 2x^{0.5} [/mm]

Es ergibt sich

F(x) = u*v - [mm] \int [/mm] u'*v

</unwichtig>

<wichtig>

[mm] $\int \br{(lnx)^2}{x}dx$ [/mm]

$z:= ln(x)$

$z' = [mm] x^{-1} [/mm] $ //Steht in jeder Formelsammlung, du kannst es aber auch selbst herleiten

$dx = [mm] \br{dz}{z'} [/mm] =  [mm] \br{dz}{x^{-1}} [/mm]  =  dz*x $ // Potenzgesetz

[mm] $\int \br{z^2}{x}dx$ [/mm]

Setzen wir den Term für dx ein, erhalten wir

[mm] $\int \br{z^2}{\red{x}}dz*\red{x}$ [/mm]

Das rote kürzt sich weg

Kontrollergebnis:

F(x) = [mm] \br{(lnx)^3}{3} [/mm]

>  Vielen lieben Dank für eine Antwort.
>  David

yw

Disap



Bezug
        
Bezug
Integration einer Funktion: partielle Integration - edit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:40 Di 18.04.2006
Autor: d_lphin

Hallo,

ich erhalte mit partieller Integration: [mm] F(x)=2*\wurzel{x}*ln(x)-4*\wurzel{x} [/mm]

----- edit ----


ähm - für die Grundfunktion halt, ...... und für das Rotationsvolumen gilt ja [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))² dx} [/mm]

partiell:

[mm] u=(ln(x))^{2} [/mm]

[mm] u'=\bruch{2*ln(x)}{x} [/mm]

$v=ln(x) $

[mm] v'=\bruch{1}{x} [/mm]


[mm] I=u*v-\integral{u'*v dx} [/mm]


[mm] I=(ln(x))²*ln(x)-\integral{\bruch{2*ln(x)}{x}*ln(x) dx}=(ln(x))³-2*\integral{\bruch{(ln(x))²}{x} dx}=(ln(x))³-2*I [/mm]


[mm] \Rightarrow 3*I=(ln(x))^{3} [/mm]


[mm] \Rightarrow I=\bruch{(ln(x))³}{3} [/mm]





Gruß
Del

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Bezug
Integration einer Funktion: Das war aber nicht gefragt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Di 18.04.2006
Autor: Disap


> Hallo,

Hi.

>  
> ich erhalte mit partieller Integration:
> [mm]F(x)=2*\wurzel{x}*ln(x)-4*\wurzel{x}[/mm]

das scheint mir die Stammfunktion für

$f(x) = [mm] \br{ln(x)}{\wurzel{x}} [/mm] $

zu sein, die nicht gefragt war.
(Nur habe ich am Anfang vergessen, dass es sich um Rotationskörper handelt und daher f(x) quadriert wird - also habe ich munter ohne das Quadrieren gerechnet, aber ich habe es so schön aufgeschrieben, da wollte ich es nicht wieder löschen)

Gruß

Disap

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Bezug
Integration einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 Di 18.04.2006
Autor: d_lphin

Hi,

dann hast du aber doch einen Fehler, denn es muss heißen: [mm] \bruch{(ln(x))³}{3} [/mm]


Gruß
Del

Bezug
                                
Bezug
Integration einer Funktion: korrigiert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Di 18.04.2006
Autor: Disap


> Hi,

Servus.

> dann hast du aber doch einen Fehler, denn es muss heißen:
> [mm]\bruch{(ln(x))³}{3}[/mm]

Gutes Auge!

Den Tippfehler [mm] \bruch{(ln(x))^\red{2}}{3} [/mm]

habe ich korrigiert. Danke für den Hinweis...

Blöde Tastatur...
  

>
> Gruß
>  Del

LG
Disap

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Integration einer Funktion: und ich .....
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Di 18.04.2006
Autor: d_lphin

.... editier mal meine partielle Integration....


den Sinn ändere ich aber nicht!



Gruß
Del

Bezug
                                                
Bezug
Integration einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Di 18.04.2006
Autor: Substituierer

Hi!

Ich danke euch für die viele Arbeit. Hatte den Ansatz selber heute morgen schon stehen, allerdings hatte mich beim Substituieren das dx= x*dt etwas gestört und ich habe dann abgebrochen, weil ich dachte, dass es falsch wäre. Vorher hatte ich übrigens genauso wie ihr auch ohne das Quadrat gerechnet ;-)

Also vielen Dank und viele Grüße
David

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