Integration mit e^x < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral [/mm] 1 / [mm] (e^x [/mm] + 1) |
Hallo, ich habe schwierigkeiten, dieses integral zu lösen.
ich habe u = [mm] e^x [/mm] + 1 substituiert
dann komme ich auf dx = du / (u-1) und
[mm] \integral [/mm] 1 / u * du / (u-1)
schließlich zu [mm] \integral [/mm] 1 / [mm] (u^2-u) [/mm] du
meine lösung ist : -1 / u - ln ( u ) dann zurück substituieren. ich weiß, dass das ergebnis falsch ist, finde aber meinen fehler nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Sa 27.02.2016 | | Autor: | abakus |
Mache für 1/(u*(u-1)) eine Partialbruchzerlegung.
|
|
|
| |
|
Ist die Partialbruchzerlegung so richtig?
1 / ( u (u - 1)) = -1 / u + 1 / ( u - 1 )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 27.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo DerHochpunkt!
> Ist die Partialbruchzerlegung so richtig?
>
> 1 / ( u (u - 1)) = -1 / u + 1 / ( u - 1 )
Nein. Richtig.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
hier meine rechenschritte:
[mm] \bruch{1}{u (u-1)} [/mm]
= [mm] \bruch{A}{u} [/mm] + [mm] \bruch{B}{u-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{A (u-1)}{u} [/mm] + [mm] \bruch{B (u)}{u-1}
[/mm]
im zähler steht :
(A+B) u - A
ich erhalte:
A+B = 0
-A = 1
daraus ergibt sich:
A = -1 und B = 1
also ist mein integrand (siehe vorposting):
- 1 / u + 1 / ( u - 1)
wenn ich das integriere, erhalte ich genau die lösung, wie sie im textbuch steht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Sa 27.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Du hast selbstverständlich recht. Ich habe es falsch gelesen, sorry!
|
|
|
| |
|
> [mm]\integral[/mm] 1 / [mm](e^x[/mm] + 1)
>
> Hallo, ich habe schwierigkeiten, dieses integral zu lösen.
Es gibt eine elegante Lösungsmethode - aber den "Trick" sieht man nicht, wenn man ihn nicht kennt (aber gleich kennst du ihn):
Du erweiterst den Bruch mit [mm] e^{-x} [/mm] !
[mm] \bruch{1}{e^x+1}=\bruch{e^{-x}}{e^{-x}(e^x+1)}=\bruch{e^{-x}}{1+e^{-x}}.
[/mm]
[mm] \integral \bruch{1}{e^x+1} dx=\integral \bruch{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx [/mm]
[mm] t=1+e^{-x} \Rightarrow dt=-e^{-x}dx
[/mm]
[mm] ...=-\integral \bruch{dt}{t}=-ln|t|=-ln|1+e^{-x}| =-ln(1+e^{-x})
[/mm]
Wenn du möchtest, kannst du darauf wieder den obigen Trick anwenden:
[mm] ...=ln(\bruch{1}{1+e^{-x}}) (Logarithmus-Regel)=ln(\bruch{e^x}{e^x(1+e^{-x})})=ln(\bruch{e^x}{e^x+1)})
[/mm]
|
|
|
| |
|
Danke für deinen Post. Werd mir das notieren und zu den Unterlagen packen.
|
|
|
|
