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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Balsam |
Hallo, bei folgender Aufgabe benötige ich etwas Hilfe:
[mm] \integral_{1}^{2} [/mm] 1 / ( [mm] x^2 [/mm] +2) dx
Ich weiß, dass es einfacher ist, diese mit Partialbruchzerlegung zu lösen, jedoch würde ich gerne die Variante mit der Substitution wiederholen.
Kann ich jetzt einfach u= [mm] x^2 [/mm] +2x setzen? dann wäre u`=2x .
Wie ging man bei der Substitution noch vor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Balsam |
die zu integrierende funktion lautet: 1/ [mm] x^2 [/mm] +2x , habe einen Fehler bei meiner mail vorhin bemerkt
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Hallo nochmal,
> die zu integrierende funktion lautet: 1/ [mm]x^2[/mm] +2x , habe
> einen Fehler bei meiner mail vorhin bemerkt
Hmm, dann vergiss die andere Antwort.
Faktorisieren und PBZ scheint der günstigste Weg.
Ansonsten bleibt quadrat. Ergänzung:
[mm] $\frac{1}{x^2+2x}=\frac{1}{x^2+2x+1-1}=\frac{1}{(x+1)^2-1}$
[/mm]
Wenn du nun [mm] $\int{\frac{1}{z^2-1} \ dz}$ [/mm] auswendig kennst, bist du mit der linearen Substitution $z=x+1$ schnell am Ziel.
Anderenfalls hilft auch hier entweder PBZ oder die Substitution [mm] $z=\tanh(u)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo Balsam,
> Hallo, bei folgender Aufgabe benötige ich etwas Hilfe:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}[/mm] 1 / ( [mm]x^2[/mm] +2) dx
>
> Ich weiß, dass es einfacher ist, diese mit
> Partialbruchzerlegung zu lösen,
Das geht aber dann ins Komplexe, ob das dann wirklich einfacher ist, wage ich anzuzweifeln ...
> jedoch würde ich gerne
> die Variante mit der Substitution wiederholen.
>
> Kann ich jetzt einfach u= [mm]x^2[/mm] +2x setzen?
Wieso [mm] $...2\red{x}$ [/mm] ??
> dann wäre u'=2x
Eher [mm]u'=2x+2[/mm]
Aber das wird nicht klappen. Auch, wenn du [mm] $u=x^2+2$ [/mm] meintest ...
Der Aufwand hängt davon ab, ob du weißt, was [mm]\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}[/mm] ist.
Wenn du weißt oder als bekannt voraussetzen darfst, dass das [mm]=\arctan(z)+C[/mm] ist, dann ist es nicht allzu schwer.
Klammere in deinem Ausgangsintegral mal die 2 im Nenner aus:
[mm]\int{\frac{1}{x^2+2} \ dx}=\int{\frac{1}{2\cdot{}\left[\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right]} \ dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2+1} \ dx}[/mm]
Und dafür findest du im Hinblick auf das obige Stammintegral doch sicher eine Substitution, die dir das Integral in die Form des Stammintegrals bringt ...
Ansonsten löse zunächst mal [mm]\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}[/mm] mit der Substitution [mm]z=\tan(u)[/mm] ...
So geht man an das Stammintegral heran ...
> .
> Wie ging man bei der Substitution noch vor?
>
>
Gruß
schachuzipus
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