Integration über 2 Variable < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 12.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Bestimmen sie das Gebietsintegral der Funktion M
(x,y) -> 1 über M
M: I x-1 I + IyI [mm] \ge [/mm] 1, [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 |
Ich habe mir das mal gezeichnet und das sieht aus wie ein Pacman der nach rechts geöffnet ist.
Ich habe nun folgendermaßen versucht mein Gebietsintegral zu berechnen:
[mm] \integral_{-1}^{0} \integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}} [/mm] 1 dx dy
Ich habe also einen Teilabschnitt gewählt, der 3 mal in dem Gesamtgebiet vorkommt(sieht aus wie ein Kuchenstück).
Nun wollte ich das Teilgebiet berechnen:
[mm] \integral_{-1}^{0} \integral_{0}^{\wurzel{1-y^2}} [/mm] 1 dx dy = [mm] \integral_{-1}^{0} \wurzel{1-y^2} [/mm] dy
Bei diesem Integral erhalte ich nun: [mm] -\bruch{1}{3}(1-y^2)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
und als Ergebnis wenn ich den Rand einsetze -(1/3) * 3(so oft gibt es den Teilbereich)
Dabei bin ich mir eigentlich sicher das Ergebnis müsste 3/4 [mm] \pi [/mm] oder so sein...was mach ich falsch?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 12.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Bei diesem Integral erhalte ich nun:
> [mm]-\bruch{1}{3}(1-y^2)^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
Als Stammfunktion? Mathematica gibt da [mm] $\frac{1}{2} \left(\sqrt{1-y^2} y+\sin ^{-1}(y)\right)$ [/mm] aus ...
vg Luis
PS: Ausgewertet erhalte ich fuer das Integral [mm] $\pi/4$. [/mm] 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 12.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ah super danke..
Wie kann ich denn das Integral ausrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Ah super danke..
>
> Wie kann ich denn das Integral ausrechnen?
Substituiere: y->sin(t)
Viele Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 12.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Hmm... y=sin(t)
y' = cos(t)
[mm] sin(t)^2 [/mm] + [mm] cos(t)^2 [/mm] = 1
[mm] cos(t)^2 [/mm] = 1 - [mm] sin(t)^2
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{0} \bruch{{ \wurzel{1-sin(t)^2}} }{cos(t)}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{0} \bruch{{ \wurzel{cos(t)^2}} }{cos(t)}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{0} [/mm] 1
Da passt ja wieder was nicht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hmm... y=sin(t)
> y' = cos(t)
>
> [mm]sin(t)^2[/mm] + [mm]cos(t)^2[/mm] = 1
> [mm]cos(t)^2[/mm] = 1 - [mm]sin(t)^2[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{{ \wurzel{1-sin(t)^2}} }{cos(t)}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-1}^{0} \bruch{{ \wurzel{cos(t)^2}} }{cos(t)}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{-1}^{0}[/mm] 1
>
> Da passt ja wieder was nicht..
>
Stimmt du hast die Substitutionsregel falsch angewandt. Schau nochmal drüber. Du erhälst dann [mm] \integral{cos^2(t) dt} [/mm] als zu lösendes Integral.
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 12.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ja mist...
muss heißen [mm] \integral_{-1}^{0} \wurzel{1-sin(t)^2} [/mm] * cos(t)
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] t + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] sin(2t) Grenze: 0, -1(weiß nich wie ich das graphisch hier darstellen kann)
Nun muss ich ja die Rücksubstitution machen
t = [mm] sin(t)^{-1}
[/mm]
Also ist der vordere Part schon mal
= 1/2 [mm] sin(t)^{-1}
[/mm]
Aber wie berechne ich den 2.Teil? Vielen Dank
Dann hab ich noch eine abschließende Frage zur Substitution.
Woher weiß ich wann ich durch die Ableitung teile und wann ich mit der Ableitung mutlipliziere..
Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mi 12.01.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ahh oder kann ich einfach die Grenze dann Rücksubstituieren:
=(1/2) t + (1/4) sin(2t)
Von arcsin(-1) = [mm] \pi/2 [/mm] bis arcsin(0)=0
= [mm] \pi/4
[/mm]
Wenn das stimmt, dann hätte ich nur noch die Frage, wann ich durch die Ableitung teile und wann ich mit der Ableitung multipliziere?
Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Ahh oder kann ich einfach die Grenze dann
> Rücksubstituieren:
>
> =(1/2) t + (1/4) sin(2t)
>
> Von arcsin(-1) = [mm]\pi/2[/mm] bis arcsin(0)=0
>
> = [mm]\pi/4[/mm]
>
> Wenn das stimmt, dann hätte ich nur noch die Frage, wann
Nein, das stimmt nicht.
Auf das Ausgangsintegral wurde eine Substitution angewendet.
Mit dieser Substitution ändern sich auch die Grenzen.
> ich durch die Ableitung teile und wann ich mit der
> Ableitung multipliziere?
Hier weiss ich nicht, wie das gemeint ist.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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Hallo zocca21,
> Ja mist...
>
> muss heißen [mm]\integral_{-1}^{0} \wurzel{1-sin(t)^2}[/mm] *
> cos(t)
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] t + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] sin(2t) Grenze: 0, -1(weiß
> nich wie ich das graphisch hier darstellen kann)
>
> Nun muss ich ja die Rücksubstitution machen
>
> t = [mm]sin(t)^{-1}[/mm]
Mit "-1" meinst Du die Inverse.
Demnach [mm]t = \arcsin(\blue{y})[/mm]
>
> Also ist der vordere Part schon mal
>
> = 1/2 [mm]sin(t)^{-1}[/mm]
>
> Aber wie berechne ich den 2.Teil? Vielen Dank
Wende hier ein Additionstheorem an:
[mm]\sin\left(2t\right)=2*\sin\left(t\right)*\cos\left(t\right)[/mm]
>
> Dann hab ich noch eine abschließende Frage zur
> Substitution.
>
> Woher weiß ich wann ich durch die Ableitung teile und wann
> ich mit der Ableitung mutlipliziere..
>
> Vielen Dank
>
Gruss
MathePower
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