Integration über Vektorprodukt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 12.07.2005 | | Autor: | libero |
Hallo.
Ich habe folgendes Problem: Ich habe die Formel (für die Lorentzkkraft):
[mm]\vec{F} = \bruch{1}{c}\integral{\vec{j}\times\vec{B}d^3 r}[/mm]
Nun bin ich in meiner Rechnung soweit, dass ich (in Kugelkoordinaten) für B den Einheitsvektor in z-Richtung einsetzen kann und für j einen den Einheitsvektor in Richtung des Radius, bzw. negativ (der Vektor zeigt also von der Oberfläche der Kugel zum Zentrum).
[mm]\integral{\vec{e}_r \times \vec{e}_z}[/mm]
Eingesetzt habe ich nun folgendes:
[mm]\integral{\vektor{\cos\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \\ \cos\theta} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} d^3 r}[/mm]
das ergibt (in Kugelkoordinaten) für z.B. die x-Komponente:
[mm]\integral_0^{2\pi}{\sin\phi d\phi} . . .[/mm]
Und hier wird das Problem schon klar: Die phi-Komponente ist integriert immer 0, damit wird der Ergebnis-Vektor (also das Integral) der Nullvektor.
Was mache ich falsch?
Gruß,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Di 12.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo.
> Ich habe folgendes Problem: Ich habe die Formel (für die
> Lorentzkkraft):
> [mm]\vec{F} = \bruch{1}{c}\integral{\vec{j}\times\vec{B}d^3 r}[/mm]
Welche Lorentzkraft soll das sein? worüber (Kurve, Oberfläche, Volumen) wird hier integriert
> Nun bin ich in meiner Rechnung soweit, dass ich (in
> Kugelkoordinaten) für B den Einheitsvektor in z-Richtung
> einsetzen kann und für j einen den Einheitsvektor in
> Richtung des Radius, bzw. negativ (der Vektor zeigt also
> von der Oberfläche der Kugel zum Zentrum).
>
> [mm]\integral{\vec{e}_r \times \vec{e}_z}[/mm]
>
> Eingesetzt habe ich nun folgendes:
>
> [mm]\integral{\vektor{\cos\phi \sin\theta \\ \sin\phi \sin\theta \\ \cos\theta} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} d^3 r}[/mm]
>
> das ergibt (in Kugelkoordinaten) für z.B. die
> x-Komponente:
>
> [mm]\integral_0^{2\pi}{\sin\phi d\phi} . . .[/mm]
>
> Und hier wird das Problem schon klar: Die phi-Komponente
> ist integriert immer 0, damit wird der Ergebnis-Vektor
> (also das Integral) der Nullvektor.
wenn du integrierst ja auch über je 2 entgegengesetze j da muss doch 0 rauskommen!
> Was mache ich falsch?
Vielleicht kann ichs erklären, wenn ich weiss, von was das die Lorentzkraft sein soll.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mi 13.07.2005 | | Autor: | libero |
Hallo leduart!
Es geht um folgendes:
"Ein kugelförmiger Luftballon trage auf der Oberfläche die elektrische Ladung Q in homogener Verteilung. Der Ballon schwebt in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld (das Magnetfeld habe den Betrag B und zeige in Richtung der z-Achse).
Der Ballon schrumpft nun zusammen, und zwar auf die Hälfte seines ursprünglichen Radius in der Zeit T. Der Ballon beginnt sich zu drehen."
Nachdem man hier Ladungs- und Stromdichte angeben soll, soll man die auftretende Lorentzkraft (und danach das Drehmoment) berechnen.
Die Ladungsdichte hab ich mit Hilfe der Delta-Distribution angegeben und der Vektor der Stromdichte zeigt in Richtung [mm]-\vec{e}_r[/mm].
Die Formel [mm]\vec{F} = \bruch{1}{c}\integral\integral\integral{\vec{j}\times\vec{B}dV}[/mm] (Volumenintegral) wurde hier als Hilfe angegeben.
Ich hoffe, das macht meine Situation im Ausgangsposting etwas klarer 
Wenn ich mir das bildlich vorstelle wird mir klar, dass und wie sich der Ballon drehen muss. Aber die Berechnung klappt nicht...
Gruß,
Michael
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hallo,
Du hast Kraftelemente dF = jdr³x B, die als Vektorfeld tangetial zur Kugeloberfläche zeigen (sozusagen in Ost-West-Richtung, wenn die z-Komponente die Nordrichtung ist): Wenn Du also über 2pi integrierst, kommt natürlich 0 raus (dF auf der einen Seite ist -dF gegenüber).
Anders beim ddifferentiellen Drehmoment dT = r x dF: Wenn Du darüber integrierst, müsste es klappen!
Frage: Du hast berücksichtigt, dass beim "Schrumpfen" der Kugel sich die Ladungsdichte erhöht?
Grüße, R
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