Integration und Volumen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Di 08.07.2008 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie $ [mm] \int\int\int_G [/mm] f(x,y,z) dG $ für
$f(x,y,z)=1+x$, [mm] $G:=\{(x,y,z)\in\IR^3:0\le x\le1,0\le y\le x,-y^2\le z\le x^2\}\subset \IR^3 [/mm] $
Formel korrigiert - zwischen befehlswort und nächstem Zeichen muß ein Leerzeichen stehen. -E.H.-
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| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie das Volumen V des Gebiets G aus Aufgabe 1 |
Hallo Leute,
habe hier eine schöne Aufgabe und bin mir nicht sicher ob ich die Grenzen richtig eingesetzt habe.
Erstmal zu Aufgabe 1:
Mein Integral sieht dann wie folgt aus:
$ [mm] \int\int\int_G [/mm] f(x,y,z) [mm] dG=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}\left(\int_{-y^2}^{x^2} f(x,y,z) dz\right)dy\right)dx [/mm] $
wenn die Grenzen so stimmen, habe ich das hier raus:
$ [mm] \int\int\int_G [/mm] f(x,y,z) [mm] dG=\frac{3}{10}$
[/mm]
Zu 2.:
Ich habe bei wikipedia gelesen,dass sich das Volumen genau wie das Integral berechnet also wäre das Volumen auch V=3/10
dann hätte ich gerne noch gewusst wie ich mir die Funktion anschaulich vorstellen kann, denn eigentlich ist es ja eine Gerade aber was ist mit den anderen Variablen ?
Schon mal Danke im Voraus
edit:
Grenzen geändert war nur ein Schreibfehler, die Rechnung sollte stimmen
lg George
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Hallo!
Prinzipiell hast du dein Integral mit den Grenzen richtig aufgestellt, wenngleich die Aufgabenstellung nicht ganz mit deinen Grenzen übereinstimmt. Ich denke aber, das sind kleine Schreibfehler, oder?
Nun zuer Erklärung. Erstmal eine Fingerübung:
Eine Fläche im [mm] \IR^2 [/mm] berechnet man mit:
[mm] A=\iint1\,dx\,dy
[/mm]
Ganz simpel: Man addiert den Flächeninhalt $dx*dy$ aller Kästchen, die von den Grenzen umrandet werden.
In der Schule berechnet man meist die Fläche zwischen der x-Achse y=0 und einer Funktion y=f(x):
[mm] A=\int \int_0^{f(x)}1\,dy\,dx
[/mm]
Die innere Integration ist leicht:
[mm] A=\int f(x)\,dx
[/mm]
Und das solltest du aus der Schule kennen.
Im [mm] \IR^3 [/mm] geht es genauso: Das Volumen berechnet sich über
[mm] V=\iiint1\,dx\,dy\,dz
[/mm]
Man addiert also die Volumina $dx*dy*dz$ ganz vieler kleiner Würfel.
Um auf das Gewicht zu kommen, kann man jeden Würfel zuvor mit seiner Dichte [mm] \rho [/mm] multiplizieren. Insbesondere, wenn die Dichte nicht überall konstant ist, muß man das für jeden Würfel einzeln machen. So ein Würfel hat dann das Gewicht [mm] $\rho(x,y,z)*dx*dy*dz$ [/mm] . Und das Gesamtgewicht des Volumens ist dann
[mm] $M=\iiint \rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
[/mm]
Das heißt, deine Funktion da ist sowas wie eine Dichteverteilung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Di 08.07.2008 | | Autor: | crashby |
Hi,
danke erstmal fürs rüber schauen.
Also habe ich somit Aufgabe 1 und 2 bearbeitet?
oder muss ich dieses hier berechnen um das Volumen zu erhalten?
[mm] $V=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x^2}\left(\int_{-y^2}^{x^2}1 dz\right)dy\right)dx [/mm] $
lg George
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Hallo!
Lies nochmal genau, was ich geschrieben habe.
Das Volumen ist einfach nur [mm] \iiint1\,dx\,dy\,dz [/mm] . Integrierst du über eine Funktion, kannst du dir die Funktion als Dichte vorstellen, und das Ergebnis wäre sowas wie die Masse des Körpers.
Ich habe den von Leopold_Gast angesprochenen Fehler in der Aufgabenstellung mal behoben, du hattest ein Leerzeichen vergessen, sodaß die obere Grenze von z nicht angezeigt wurde.
Im Integral mußt du allerdings immernoch die obere Grenze von y korrigieren, lau Aufgabenstellung ist sie x, du hast x² geschrieben 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mi 09.07.2008 | | Autor: | crashby |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Leute,
ich muss also einmal
$ \int\int\int_G f(x,y,z) dG=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x}\left(\int_{-y^2}^{x^2} f(x,y,z) dz\right)dy\right)dx $ berechnen und
Volumen:
$ V=\int\int\int 1 dz\right)dy\right)dx $
Nun ja was ist aber mit den Grenzen, dass leuchtet mir nicht ganz ein?
Bei wikipedia haben die über ein Einheitsquadrat integriert.
![[]](/images/popup.gif) Berechnung von Rauminhalten
Danke lg George
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mi 09.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Volumen:
$ V=\int\int\int 1 dz\right)dy\right)dx $
Die Integrationsgrenzen sind die gleichen wie beim ersten Integral.
Event_Horizon hat sich nur kurz gefasst.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 09.07.2008 | | Autor: | crashby |
hey,
danke na dann war ich ja doch nicht so verkehrt. Ich erhalte V=4/3 stimmt das ?
lg
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Bitte korrigiere deine Angaben. Sie machen keinen Sinn: Die Bedingung [mm]-y^2 \leq z^2[/mm] ist offenbar für alle [mm]z[/mm] erfüllt. Das Integral existiert nicht, denn der Integrationsbereich ist ein unendliches Prisma.
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