Integration v. Differentialgl. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 09.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi, muss für Chemie folgendes lösen und habe leider ein totales Blackout, da das Thema schon was hinter mir liegt, bzw. Teile davon garnicht behandelt wurden.
Ich habe gegeben: [mm] v=-\bruch{dc}{dt}=kc
[/mm]
Durch Integration muss ich kommen auf: [mm] c(t)=c_{0}*e^{-kt}
[/mm]
Würde euch jetzt gerne meine Lösungsvorschlöge posten, doch mehr als zwei beschmierte Blätter ohne jegliches Näherkommen habe ich nicht... Ich komme immer nur auf Dinge wie 0,5kt², das scheint Schwachsinn zu sein, zumal ich nicht weiss, wie ich das c nach vorne bekomme, während ich nach t integriere...
Vielen Dank
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Oliver,
Deine DGL ist nicht so schwer. Der Zauberspruch, den Du suchst, lautet "Trennung der Variablen".
So geht's:
* Du bringst alle Ausdrücke mit c auf die eine und alle mit t auf die andere
Seite der Gleichung und integrierst:
[mm] $-\integral\bruch{dc}{c} [/mm] = [mm] \integral [/mm] k dt$
* Beim Integrieren vergiss nicht die Integrationskonstante a auf einer der beiden Seiten!
(Du brauchst nur eine! Klar warum?)
* Dann nimmst Du beide Seiten der Gleichung e-hoch um den Logarithmus loszuwerden.
* Erinnere Dich, dass [mm] $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.
[/mm]
* Am Ende kannst Du [mm] c_0:=e^{\pm a} [/mm] substituieren.
Fertig.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 09.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi, danke!
Aber irgendetwas stimmt da noch nicht:
[mm] -[ln(c)+a]^{t}=[kt+a]^{t}
[/mm]
<=> [mm] 0=\ln{c}+kt+2a
[/mm]
<=> [mm] 1=c*e^{kt}*e^{2a}
[/mm]
<=> [mm] e^{-kt}=c*e^{2a}
[/mm]
<=> [mm] c=\bruch{e^{-kt}}{e^{2a}}
[/mm]
<=> [mm] c=\bruch{e^{-kt}}{2c_{0}}
[/mm]
-> Warum durfte ich eines der beiden a weglassen?
-> Warum darf 2a (bzw. a) jetzt einfach mit [mm] c_{0} [/mm] tauschen?
-> Wo ist da noch der kleine Fehler, der statt mal jetzt da nen Bruch stehen lässt?
Danke,
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi, danke!
> Aber irgendetwas stimmt da noch nicht:
Äh... ja. Wo bekommst Du Dein "hoch t" her? Und warum verwendest Du für
beide Integral dieselbe Integrationskonstante? Gemeint hatte ich's so:
$ [mm] \integral\bruch{dc}{c} [/mm] = [mm] -\integral [/mm] k dt $
[mm] \ln|c| + a_{0} = -kt + a_{1} [/mm]
Sei nun [mm] $a:=a_1-a_0$:
[/mm]
[mm] $\ln|c| [/mm] = -kt + a$
e hoch:
$c = [mm] \text{e}^{-kt + a}$
[/mm]
e-Ausdruck auseinanderziehen und [mm] $c_0:=\text{e}^a$ [/mm] definieren:
$c = [mm] c_0 \text{e}^{-kt}$
[/mm]
Fertig!
Viele Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 09.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
alles klar!
Das mit dem t war nur ein Tippfehler...
Aber wieso darfst du das [mm] e^{a} [/mm] einfach als [mm] c_{0} [/mm] definieren?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 09.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Oli.
> Das mit dem t war nur ein Tippfehler...
> Aber wieso darfst du das [mm]e^{a}[/mm] einfach als [mm]c_{0}[/mm]
> definieren?
Weil $a$ eine Konstante ist.
Mit $a$ ist aber auch [mm] $\exp(a)$ [/mm] eine Konstante.
Und der habe ich lediglich einen neuen Namen gegeben, indem ich sie als [mm] $c_0:=\exp(a)$
[/mm]
umgetauft habe. Das ist alles. Hat mit Integration gar nichts zu tun!
Viele Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Do 09.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
das Problem ist ja, dass das ganze einen chemischen Hintergrund hat - [mm] c_{0} [/mm] wird später die Ausgangskonzentration sein, die sich mit der Zeit auf die Konzentration c(t) ändert... Wenn ich jetzt einfach irgendwas als [mm] c_{0} [/mm] definiere, muss ich doch auch einen Beweis dafür haben... Würde ich statt [mm] e^a [/mm] jetzt a als [mm] c_{0} [/mm] definieren, würde zum Beispiel etwas ganz anderes für die Konzentration herauskommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 10.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hallo Oliver!
> Hintergrund hat - [mm]c_{0}[/mm] wird später die
> Ausgangskonzentration sein, die sich mit der Zeit auf die
> Konzentration c(t) ändert...
Stopp! Nochmal: [mm] c_0 [/mm] ist einfach eine beliebige positive [mm] ($e^a>0$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IR$,
[/mm]
es sei denn Du rechnest mit [mm] $a\in\IC$, [/mm] aber davon gehe ich in der Schule mal nicht aus)
Konstante.
D.h.: EGAL welches [mm] $c_0\in\IR^{+}$ [/mm] Du wählst, Du erhältst immer eine Lösung Deiner DGL!
Sei zum Beispiel:
[mm] $c_0:=42$.
[/mm]
Dann wirst Du feststellen, dass
[mm] $c(t)=42\cdot e^{-kt}$
[/mm]
Eine Lösung Deiner DGL ist. Probier's aus! Zu zeigen ist:
[mm] $-\bruch{d}{dt}\; [/mm] c(t) [mm] \overset{!}{=} k\cdot [/mm] c(t)$
Einsetzen:
[mm] $-\bruch{d}{dt}\; 42\cdot e^{-kt} \overset{!}{=} k\cdot 42\cdot e^{-kt}$
[/mm]
Links ableiten:
[mm] $42\cdot ke^{-kt} \overset{!}{=} k\cdot 42\cdot e^{-kt}$
[/mm]
Die Gleichung gilt offenbar! Und nicht nur für [mm] $c_0=42$, [/mm] sondern für JEDES (sogar negative)
[mm] $c_0\in\IR$!
[/mm]
D.h. für Dich insbesondere: Auch wenn Du für [mm] $c_0$ [/mm] den mir unbekannten Wert Deiner
Ausgangskonzentration einsetzt, wirst Du auf eine Lösung der DGL kommen. Den Beweis
dazu erhältst Du, wenn Du in meiner obigen Rechnung alle Ausdrücke "42" wieder durch
den allgemeinen Ausdruck [mm] $c_0$ [/mm] ersetzt!
Viele Grüße
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Fr 10.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Ok, verstanden! Danke!
Jetzt lautet die Aufgabe:
"Führen Sie den mathematischen Zusammenhang zwischen der Differenzialgleichung (1) und der exponentiellen Integralgleichung (2) vor. Integrieren Sie dazu die Differenzialgleichung (1) zwischen den Grenzen 0 und t."
(1) $ [mm] v=-\bruch{dc}{dt}=kc [/mm] $
(2) $ [mm] c(t)=c_{0}\cdot{}e^{-kt} [/mm] $
So, das haben wir ja nun gemacht - Und oh Wunder: [mm] \integral_{0}^{t}{(1)} [/mm] ergibt (2).
Was wollen die jetzt da noch von mir? Was soll ich da vorführen? Ich soll das Nicht-Mathe-LKlern im Chemieunterricht vorführen, was würdet ihr empfehlen? Einfach nur die Rechnung?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Fr 10.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich würd erstmal umgekehrt vorgehen, und zeigen, dass dc/dt =-k*c ist. Und dass das die wichtigste Eigenschaft der Exponentialfkt ist.
Erst Danach würd ich die Dgl integrieren, um zu zeigen, dass man wenn man nur in jedem Moment die Änderung kennt (und den Anfangswert) man auf die Funktion, also den zeitlichen Verlauf schliessen kann. !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 18.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi,
irgendwie häng ich gerade wieder - Wie komme ich jetzt von $ c = [mm] c_0 \text{e}^{-kt} [/mm] $ wieder auf $ v=k*c $ ?
Es gilt ja:
$ c = [mm] c_0 \text{e}^{-kt} [/mm] $
$ v = [mm] -[c_0 \text{e}^{-kt}]' [/mm] $
<=> $ v = [mm] -c_0*[\text{e}^{-kt}]' [/mm] $
<=> $ v = [mm] c_0*k*\text{e}^{-kt} [/mm] $
.. und jetzt? Ist immer noch weit entfernt von dem, was ich will... Statt [mm] c_0*\text{e}^{-kt} [/mm] brauche ich ein c...
Danke,
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
Wie haben doch zum einen: [mm] $\red{c(t)} [/mm] \ = \ [mm] \red{c_0*e^{-k*t}}$ [/mm] .
Und in der o.g. Umformung hast Du erhalten: $v(t) \ = \ [mm] c_0*k*e^{-k*t} [/mm] \ = \ [mm] k*\red{c_0*e^{-k*t}}$
[/mm]
Und hier nun die obere Gleichung einsetzen: $v(t) \ = \ [mm] k*\red{c(t)}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 18.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Mensch, bin ich bescheuert.. Ja klar, danke!
Ich versuch mich aber gerade daran, analog zur oben genannten Integration $ [mm] -\bruch{dc}{dt}=kc² [/mm] $ zu integrieren...
Angekommen bin ich bei $ [mm] \bruch{1}{c} [/mm] = kt + a $, mein Ziel ist $ [mm] \bruch{1}{c} [/mm] = [mm] \bruch{1}{c_0} [/mm] + kt $.
Darf ich hier einfach wieder [mm] a=\bruch{1}{c_0} [/mm] setzen? Sind ja beides Konstanten... Aber was ich dann nicht versteh - Ich könnte ja genauso gut [mm] a=c_0 [/mm] oder [mm] a=3*\wurzel{c_0} [/mm] usw. setzen - Wird dadurch etwa nichts verfälscht?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
Ich nehme mal an, dass ja gelten soll: $c(t=0) \ = \ c(0) \ =: \ [mm] c_0$ [/mm] (also [mm] $c_0$ [/mm] ist die Anfangskonzentration zum Zeitpunkt $t \ = \ 0$ )?
Dann setze das doch mal in Deine Gleichung [mm] $\bruch{1}{c(t)} [/mm] \ = \ k*t +a$ den Wert $t \ = \ 0$ ein und stelle nach $a \ = \ ...$ um.
Frage beantwortet, auch was das "Verfälschen" angeht?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Sa 18.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Hi, super, jetzt habe ich auch verstanden, warum ich bei der ersten Rechnung [mm] e^a=c_0, [/mm] setzen durfte, da passt deine Rechnung nämlich auch :). Ja, das mit der Anfangskonzentration hast du richtig verstanden, danke!
Dennoch bleibt noch eine Frage: In meiner Aufgabe steht, ich solle die Gleichungen "zwischen den Grenzen 0 und t bzw. [mm] c_0 [/mm] und c integrieren". Haben wir das getan? Ich sehe nämlich lediglich unbestimmte Integrale, auch wenn es perfekt hinkommt!
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
Ja, das haben wir (indirekt) schon richtig gemacht mit den Grenzen.
Aber setze doch einfach mal die entsprechenden Integrationsgrenzen ein (wobei man dann jeweils auf die Integrationskonstante verzichten darf bei bestimmten Integralen).
Dabei solltest Du jeweils dasselbe erhalten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 18.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Ich probiere es mal bei der ersten der beiden:
[mm] \integral_{c_0}^{c}{\bruch{dc}{c}}=-\integral_{0}^{t}{k dt}
[/mm]
[mm] ln(c)-ln(c_0)=-k*(t-0)
[/mm]
[mm] ln(c)-ln(c_0)=-kt
[/mm]
[mm] e^{ln(c)-ln(c_0)}=e^{-kt}
[/mm]
[mm] \bruch{c}{c_0}=e^{-kt}
[/mm]
[mm] c=c_0*e^{-kt}
[/mm]
Hey, wow! :)
Kannst du mir jetzt noch sagen, warum das eine Integralgleichung ist? Also ich weiss, dass eine Differentialgleichung eine abgeleitete Funktion ist, die die Funktion selbst enthält. Ich würde folgern, dass eine Integralgleichung eine integrierte Funktion ist, die die Funktion selbst enthält. Inwiefern trifft das hier ein?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:29 So 19.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Oli!
Du mien st,w arum das eine Integralfunktion ist? Eine ![[]](/images/popup.gif) Integralfunktion ist eine Stammfunktion, bei welcher eine der Intrationsgrenzen als Variable eingesetzt wird.
Und genau dies haben wir doch mit (dem variablen) $t_$ hier gemacht ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 19.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Dort steht aber ganz klar "Integralgleichung":
"... und führen sie daran den mathematischen Zusammenhang zwischen der Differenzialgleichung und der Integralgleichung vor."
Eine Idee?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Oli,
das, was Loddar und Du ausgerechnet haben, waren Integralfunktionen, hiervon stehen aber zwei in der Gleichung, nämlich rechts und links des Gleichheitszeichens. Deswegen nennt man eine solche Gleichung eine Integralgleichung.
Viele Grüße,
Infinit
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