Integration von Tangens < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{pi/4}{tan (x) dx}
[/mm]
x=arctan(t)
[mm] dx=\bruch{1}{x^2+1}dt
[/mm]
So wenn ich das jetzt einsetze und kürze, bleibt nur noch [mm] \integral_{0}^{pi/4}{\bruch{t}{x^2+1}dt}.
[/mm]
Ist das soweit richtig ? |
Hallo,
ich möchte tan(x) mit Hilfe von x= arctan(t)integrieren.
Jedoch mache ich irgendwo einen Fehler, sodass ich zum falschen Ergebnisse komme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:06 Mo 08.10.2012 | | Autor: | glie |
> [mm]\integral_{0}^{pi/4}{tan (x) dx}[/mm]
> x=arctan(t)
> [mm]dx=\bruch{1}{x^2+1}dt[/mm]
>
> So wenn ich das jetzt einsetze und kürze, bleibt nur noch
> [mm]\integral_{0}^{pi/4}{\bruch{t}{x^2+1}dt}.[/mm]
> Ist das soweit richtig ?
>
> Hallo,
>
> ich möchte tan(x) mit Hilfe von x= arctan(t)integrieren.
> Jedoch mache ich irgendwo einen Fehler, sodass ich zum
> falschen Ergebnisse komme.
>
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
also deine "Substitution" verstehe ich überhaupt nicht.
Versuch es doch mal so:
$tan(x)$ kann man ja auch als [mm] $\bruch{sin(x)}{cos(x)}$ [/mm] schreiben.
Und wenn du jetzt dazu eine Stammfunktion suchst, dann sollte dir auffallen, dass da im Zähler fast die Ableitung des Nenners steht!
Na klingelt es schon?
Stichwort:Logarithmus
Frag einfach wieder nach wenn das noch nicht weitergeholfen hat.
Gruß glie
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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Danke vielmals aber mit $ [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] $ konnte ich das lösen. Jedoch war in der Aufgabe dieses gegeben
x=arctan(t) und arctan 1 [mm] =\bruch{pi}{4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Blitz |
Hallole  ,
manOman, man kann sich das Leben schwer machen.
Vielleicht wird hier intendiert, dass die Studenten Variablenänderung üben. Dann kannst du mit den Angaben eine Äquivalenzumformung machen:
x = arctan(t) [mm] \gdw [/mm] tan(x) = t
und
arctan 1 = [mm] \bruch{\pi}{4} \gdw [/mm] 1 = [mm] tan(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Könntest du weitermachen?
Grußle, Blitz
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Wie kommst du denn auf tan(x) = t
Ich würde es so machen
[mm] x=\bruch{1}{tan(t)} \gdw =\bruch{1}{tan(x)} [/mm] = t
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Hallo [mm](abc)^3[/mm],
> Wie kommst du denn auf tan(x) = t
Siehe unten
> Ich würde es so machen
>
> [mm]x=\bruch{1}{tan(t)} \gdw =\bruch{1}{tan(x)}[/mm] = t
Wie kommst du auf [mm]x=\frac{1}{\tan(t)}[/mm]? Es ist [mm]\arctan(t)=\tan^{\text{invers}}(t)=\tan^{-1}(t)\neq\frac{1}{\tan(t)}[/mm]
Es war doch angeraten: [mm]x=\arctan(t)[/mm]
Und der Tangens ist die Umkehrfunktion des Arcustangens, wende also auf beiden Seiten den Tangens an:
[mm]x=\arctan(t)\Rightarrow\red{ \tan(}x\red{)}=\red{\tan(}\arctan(t)\red{)}=t[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Danke vielmals aber mit [mm]\bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm] konnte ich
> das lösen. Jedoch war in der Aufgabe dieses gegeben
> x=arctan(t) und arctan 1 [mm]=\bruch{pi}{4}[/mm]
wenn du die Substitution durchführen möchtest, so gilt:
$ x=arctan(t) $
$ [mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{\red{t}^2+1} [/mm] $
Außerdem sind die Integralgrenzen anzupassen...
Grüße
franzzink
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Soweit war ich ja schon am Anfang gekommen.
Nun habe ich stehen [mm] \integral_{0}^{1}{t*\bruch{1}{\red{t}^2+1}*dt}
[/mm]
Aber hier muss ein Fehler sein...
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Hallo abcabcabc,
> Soweit war ich ja schon am Anfang gekommen.
Na, nicht ganz.
> Nun habe ich stehen
> [mm]\integral_{0}^{1}{t*\bruch{1}{\red{t}^2+1}*dt}[/mm]
> Aber hier muss ein Fehler sein...
Wieso? Ich sehe keinen.
Jetzt integrieren und fertig.
Kleiner Tipp: wenn f(x) irgendeine Funktion ist, was ist dann die Ableitung von [mm] \ln{(f(x))} [/mm] ? Kettenregel beachten!
Grüße
reverend
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Die Ableitung wäre [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)}
[/mm]
Ich habe jetzt mal rumprobiert aber ich komme nicht auf das Ergebnis = -ln |cos|
Wenn ich $ [mm] \integral_{0}^{1}{\cdot{}\bruch{t}{{t}^2+1}\cdot{}dt} [/mm] $ integriege, komme ich auf
[mm] =\bruch{1}{2}t^2*ln|t^2+1|
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Ableitung wäre [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm]
>
> Ich habe jetzt mal rumprobiert aber ich komme nicht auf das
> Ergebnis = -ln |cos|
Ohne Deine Rechnungen zu sehen, kann Dir niemand sagen, was schief läuft.....
Im Intervall [mm] $[0,\pi/4]$ [/mm] ist cos(x) [mm] \ge [/mm] 0. Damit ist F(x)=-ln(cos(x)) eine Stammfunktion von tan(x) auf diesem Intervall (nachrechnen).
>
> Wenn ich
> [mm]\integral_{0}^{1}{\cdot{}\bruch{t}{{t}^2+1}\cdot{}dt}[/mm]
> integriege, komme ich auf
>
> [mm]=\bruch{1}{2}t^2*ln|t^2+1|[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}t^2*ln|t^2+1| [/mm] ist keine Stammfunktion von [mm] \bruch{t}{{t}^2+1} [/mm] ! Was hast Du da gerechnet ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:39 Mo 08.10.2012 | | Autor: | abcabcabc |
Was wäre der Ansatz für die Integration ?
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Hallo,
rechne doch mal Schritt für Schritt vor, wie du von
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{t}{{t}^2+1}dt} [/mm] $
auf
$ [mm] \bruch{1}{2}t^2*ln|t^2+1| [/mm] $
kommst.
Dann sieht man ganz schnell, wo das Problem liegt...
Grüße
franzzink
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Di 09.10.2012 | | Autor: | abcabcabc |
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Bin nun am Ziel angekommen.
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