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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
Hallo
ich hänge gerade bei folgendem Integral und zwar bei
[mm] \bruch{1}{x²+2}
[/mm]
habe noch mehr so ähnliche Sachen, ich weiß das es dafür vorgefertige Formeln gibt, kann mir einer helfen?? Wär klasse..
Frohe Ostern
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Es gilt:
[mm] \integral{\bruch{1}{1+x^{2}} dx} =\arctan(x).
[/mm]
Genau darauf läuft es bei dir auch hinaus:
[mm] \integral{\bruch{1}{2+x^{2}} dx}
[/mm]
Bei solchen Integralen musst du zunächst alles daran setzen, im Nenner ein "+1" statt einem "+2" hinzubekommen. Dies geschieht durch ausklammern:
[mm] \integral{\bruch{1}{2+x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{2*(1+\bruch{x^{2}}{2})} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+\bruch{x^{2}}{2}} dx}.
[/mm]
Als nächstes gilt es, aus dem verkorksten [mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] im Nenner wieder ein richtiges Quadrat zu machen:
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+\bruch{x^{2}}{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{2}}\right)^{2}} dx}
[/mm]
Nun musst du substituieren:
[mm]u = \bruch{x}{\wurzel{2}}[/mm]
also
[mm]dx = \wurzel{2}*du[/mm].
Es ergibt sich das "neue" Integral:
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{2}}\right)^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{1+u^{2}}*\wurzel{2} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2}*\integral{\bruch{1}{1+u^{2}} du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\integral{\bruch{1}{1+u^{2}} du}
[/mm]
Das kann man jetzt lösen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\integral{\bruch{1}{1+u^{2}} du} =\bruch{1}{\wurzel{2}}*\arctan(u)
[/mm]
Eine kleine Rücksubstitution nach:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\arctan(u) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\arctan(\bruch{x}{\wurzel{2}})
[/mm]
... Und auch dieses Integral ist gelöst! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 23.03.2008 | | Autor: | PingPong |
ahh gut danke... was mach ich denn bei solchen sachen...
[mm] \integral_{}^{}{sin³ dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{{e^2x}+5}{{e^2x}+1} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{{e^3x}}{{e^2x}+2} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{sinx}{cos³x} dx}
[/mm]
wäre gut wenn du mir das noch beschreiben könntest.. vielen dank
danny
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Ich werde jetzt nicht alle Lösungen posten , aber jeweils einen Ansatz geben:
Bei
[mm] \integral{\sin^{3}(x) dx}
[/mm]
empfehle folgenden Ansatz:
[mm] \integral{\sin^{3}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{\sin^{2}(x)*\sin(x) dx}
[/mm]
Nun ist [mm] \sin^{2}(x) [/mm] = [mm] 1-\cos^{2}(x), [/mm] daraus folgt:
[mm] \integral{\sin^{2}(x)*\sin(x) dx} [/mm] = [mm] \integral{(1-\cos^{2}(x))*\sin(x) dx}.
[/mm]
Nun führe eine Substitution u = cos(x) durch.
---
Bei
[mm] \integral{\bruch{e^{2x}+5}{e^{2x}+1} dx}
[/mm]
würde ich zunächst s = [mm] e^{2x} [/mm] substituieren. Das entstehende Integral kann man mit Partialbruchzerlegung lösen.
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Bei
[mm] \integral{\bruch{e^{3x}}{e^{2x}+1} dx}
[/mm]
zunächst
s = [mm] e^{x}
[/mm]
substituieren. Den entstehenden Term zunächst polynom-dividieren und danach dieselben Umformungen wie bei deiner ersten Frage anwenden.
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Bei
[mm] \integral{\bruch{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} dx}
[/mm]
sollte man zunächst umformen:
[mm] \integral{\bruch{\sin(x)}{\cos^{3}(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral{\sin(x)*\cos^{-3}(x) dx}
[/mm]
Nun sieht man besser, dass es sich um eine Form
KonstanterFaktor * ÄußereAbleitung * InnereAbleitung
handelt, den man wie lösen kann ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mo 24.03.2008 | | Autor: | PingPong |
erstmal danke... bei der letzten Aufgabe bringt mich dasnicht weiter...
kannst du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?
Dann eine Frage.. wie sieht man sowas?? Gibt es da Tips ? Tricks? Wenn ich das so habe wie du sie mir umgestellt hast, kann ich es locker integrieren.. nur da erstmal drauf kommen
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Hallo PingPong,
> erstmal danke... bei der letzten Aufgabe bringt mich
> dasnicht weiter...
> kannst du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{\sin\left(x\right)}{\cos^{3}\left(x\right)} \ dx}[/mm]
Verwende hier die Subsitution [mm]u=\cos\left(x\right)[/mm].
>
> Dann eine Frage.. wie sieht man sowas?? Gibt es da Tips ?
> Tricks? Wenn ich das so habe wie du sie mir umgestellt
> hast, kann ich es locker integrieren.. nur da erstmal drauf
> kommen
Das kommt nur von der Übung. Je mehr man übt, desto besser sieht man das.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 So 23.03.2008 | | Autor: | Mather |
$ u = [mm] \bruch{x}{\wurzel{2}} [/mm] $
also
$ dx = [mm] \wurzel{2}\cdot{}du [/mm] $.
wie kommst du auf dx= [mm] \wurzel{2} [/mm] du
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 So 23.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
nachdem du substituiert hast, willst du ja nach dem u integrieren. D.h. du kannst dort nicht mehr so etwas wie dx stehen haben, denn dann würdest du ja immer noch nach x integrieren. D.h. du musst dort irgendwie ein $du$ hinebkommen.
Nun hast du ja schon geschrieben: [mm] $u=\frac{x}{\sqrt{2}}$. [/mm] Du hast also sozusagen eine Funktion u, die von x abhängt. u(x)=....
Jetzt nützt es zu wissen, dass [mm] $\frac{du}{dx}$ [/mm] bedeutet, dass man die Funktion u(x) nach x ableitet. In diesem fall bedeutet also [mm] $\frac{du}{dx}=u'(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$. [/mm] Wenn du das ganze jetzt nach dx umstellst, bekommst du
[mm] $dx=\sqrt{2}du$ [/mm]
Jetzt kannst du anstatt des dx hinter deinem Integral für das dx das [mm] $\sqrt{2}du$ [/mm] hinschreiben und danach integrieren. Denn dann hast du einen Term, der von u abhängt, den du jetzt auch "richtig" nach du integriest. Dann bekommst du die Arcustangens-Lösung.
Ich hoffe, ich konnte dir mit der Antwort weiterhelfen.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Mather |
Jap das konntest du! Vielen Dank!!!!
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