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| Aufgabe | Sei f : [ a, b] [mm] \to \IR [/mm] eine beschränkte Funktion und D [mm] \subset[a; [/mm] b] die Menge der Punkte, an denen f nicht
stetig ist. Zeige: Falls D höchstens einen Häufungspunkt hat, so ist f Riemann-integrierbar. |
mit der Aufgabenstellung habe ich so meine Probleme.
Wenn D höchstens einen Häufungspunkt hat...das heißt doch die Funktion ist an einer Stelle unstetig in D...
Ich wäre für Anregungen sehr sehr sehr dankbar!!!!!!!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f : [ a, b] [mm]\to \IR[/mm] eine beschränkte Funktion und D
> [mm]\subset[a;[/mm] b] die Menge der Punkte, an denen f nicht
> stetig ist. Zeige: Falls D höchstens einen Häufungspunkt
> hat, so ist f Riemann-integrierbar.
> mit der Aufgabenstellung habe ich so meine Probleme.
>
> Wenn D höchstens einen Häufungspunkt hat...das heißt doch
> die Funktion ist an einer Stelle unstetig in D...
Nein, es kann sogar unendlich viele geben!
Allerdings: wenn es mehr als endlich viele gibt, so gibt es einen Punkt [mm] $z_0 \in [/mm] [a, b]$ so, dass ausserhalb jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $z_0$ [/mm] nur endlich viele Unstetigkeitsstellen liegen.
> Ich wäre für Anregungen sehr sehr sehr dankbar!!!!!!!!
Approximiere die Funktion von oben und unten mit Treppenfunktionen.
Ueberleg dir vielleicht erstmal, wie du bei nur einer Unstetigkeitsstelle vorgehst. Dann wie bei endlich vielen. Und dann ueberleg dir was du mit der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] machen kannst. (Bedenke: die Funktion ist beschraenkt.)
LG Felix
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Danke für deine Antwort.
ICh muss aber leider sagen, das ich damit nicht zurecht komme.
ICh weiß noch nicht mal wie die Ober- bzw. Untersumme aussieht, denn ich weiß ja nicht, ob die funktion monton steigend oder fallend ist?
Könntest du mir noch ein paar Tipps geben, damit ich die Aufgabe lösen kann???
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 03.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für deine Antwort.
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> ICh muss aber leider sagen, das ich damit nicht zurecht
> komme.
>
> ICh weiß noch nicht mal wie die Ober- bzw. Untersumme
> aussieht, denn ich weiß ja nicht, ob die funktion monton
> steigend oder fallend ist?
Nun, explizit angeben in dem Sinne kannst du sie auch nicht. Du musst sie dir zusammenbasteln aus dem Wissen, dass es fuer eine stetige Funktion auf einem Intervall immer Treppenfunktionen gibt die diese Funktion beliebig genau annaehern.
> Könntest du mir noch ein paar Tipps geben, damit ich die
> Aufgabe lösen kann???
Wie schon gesagt: mach das ganze erstmal nur fuer eine Sprungstelle (Unstetigkeitsstelle). Wenn du das raus hast, mach es fuer endlich viele. Und wenn du das hast dann geh das eigentliche Problem an.
Schreib doch mal her wie du eine Sprungstelle behandeln wuerdest.
Also angenommen wir haben Zahlen $a < b < c$ und $f : [a, c] [mm] \to \IR$ [/mm] ist beschraenkt, und $f$ ist auf $[a, b)$ und $(b, c]$ stetig. (Der Einfachheit halber kannst du auch zuerst annehmen, dass $f$ sogar auf $[a, b]$ oder $[b, c]$ stetig ist. Wenn du das hast, versuch diese Einschraenkung wegzulassen, und dann fang an mit endlich vielen Sprungstellen.)
LG Felix
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