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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR^2 [/mm] /{(0,0)} [mm] \to \IR, [/mm] f(x,y) := [mm] log(x^2+y^2)^2.
[/mm]
a) Zeige, dass die Funktion f harmonisch ist.
b) Ist die Funktion f über den Einheitskreis integrierbar? |
Hallo, stehe mal wieder im Wald und sehe die Bäume nicht:
zu a) klar, man zeigt lediglich [mm] {\partial f} \over {\partial x^2} [/mm] = [mm] {\partial f} \over {\partial y^2}
[/mm]
zu b) keinen genauen Plan. Ich denke mal es läuft auf den Satz von Tonelli hinaus. Inklusiver einer geeigneten Transformation bzgl. des Einheitskreises. Aber wie??? Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 20.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR^2[/mm] /{(0,0)} [mm]\to \IR,[/mm] f(x,y)
> := [mm]log(x^2+y^2)^2.[/mm]
> a) Zeige, dass die Funktion f harmonisch ist.
> b) Ist die Funktion f über den Einheitskreis
> integrierbar?
Ich nehme an, gemeint ist die Funktion [mm]\log((x^2+y^2)^2)[/mm] und nicht [mm](\logx^2+y^2))^2[/mm], denn die zweite ist nicht harmonisch.
> Hallo, stehe mal wieder im Wald und sehe die Bäume nicht:
>
> zu a) klar, man zeigt lediglich [mm]{\partial f} \over {\partial x^2} = {\partial f} \over {\partial y^2}[/mm]
Nein, du musst zeigen, dass
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} + \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 [/mm]
ist.
> zu b) keinen genauen Plan. Ich denke mal es läuft auf den
> Satz von Tonelli hinaus. Inklusiver einer geeigneten
> Transformation bzgl. des Einheitskreises. Aber wie???
Für Kreise und ähnliche Gebilde bieten sich Polarkoordinaten
[mm] x = r\cos\varphi[/mm], [mm]y=r\sin\varphi[/mm], [mm]0\le\varphi<2\pi[/mm]
an. Der Einheitskreis wird durch [mm] 0\le r\le1[/mm] beschrieben, das Produktmass ist
[mm] d(x,y) = r dr d\varphi [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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