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Hallo,
ich bin gerade an einer AUfgabe am Verzweifeln seit 2 Stunden. Ich will folgenden Term integrieren:
2/3 cos(x) * Wurzel aus sin (x)
Mein Ansatz war jetzt die 2/3 cos(x) als Vorfaktor zu betrachten und dann äußere Stammfunktion mal innere Ableitung, also das sinx wäre dann die innere Ableitung, cos(x) unter Bruchstrich und dann überm Bruchstrich würde dann die wurzel aus sind (x) aufgeleitet werden, zu 2/3 [mm] -cos(x)^3/2. [/mm] Das cos unterm Bruchstrich und als Vorfaktor würde sich weg´kürzen und als Endergenis hätte ich -4/9 [mm] cos(x)^3/2.
[/mm]
Stimmt das? Ich komm nämlich wenn ich das Ableiten will nicht wieder auf die ursprüungliche Funktion -.-
Bitte Hilfe^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Mi 25.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich bin gerade an einer AUfgabe am Verzweifeln seit 2
> Stunden. Ich will folgenden Term integrieren:
>
> 2/3 cos(x) * Wurzel aus sin (x)
schau mal, hier gibt es einen Formeleditor.
Du meinst vermutlich: [mm] $\int\frac{2}{3}\cos x\sqrt{\sin x}\,\mathrmd{d}x$
[/mm]
>
> Mein Ansatz war jetzt die 2/3 cos(x) als Vorfaktor zu
2/3 kann Du vorziehen, [mm] $\cos [/mm] x$ aber nicht, denn das ist nicht konstant.
> betrachten und dann äußere Stammfunktion mal innere
> Ableitung, also das sinx wäre dann die innere Ableitung,
Was ist denn eine äußere Stammfunktion bzw. eine innere Ableitung?
> cos(x) unter Bruchstrich und dann überm Bruchstrich würde
> dann die wurzel aus sind (x) aufgeleitet werden, zu 2/3
Mit dem (Un-)Wort 'aufgeleitet' meinst Du vermutlich 'integriert'.
> [mm]-cos(x)^3/2.[/mm] Das cos unterm Bruchstrich und als Vorfaktor
> würde sich weg´kürzen und als Endergenis hätte ich -4/9
> [mm]cos(x)^3/2.[/mm]
Du solltest Dir angewöhnen, das zu schreiben, was Du auch meinst. Ich bin sicher Du wolltest [mm] $-\frac{4}{9}\cos^{\frac{3}{2}}x$ [/mm] und nicht [mm] $-\frac{4}{9}\frac{\cos^{3}x}{2}$ [/mm] schreiben.
Ich verstehe Deine abenteuerliche Beschreibung leider nicht, aber das Ergebnis ist auch falsch.
Falls Du nicht versucht hast eine Substitution zu beschreiben, würde ich Dir folgende empfehlen:
[mm] $u(x)=\sqrt{\sin x}$
[/mm]
>
> Stimmt das? Ich komm nämlich wenn ich das Ableiten will
> nicht wieder auf die ursprüungliche Funktion -.-
Dann hast Du Dich verrechnet, denn:
[mm] $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(-\frac{4}{9}\cos^{\frac{3}{2}}x\right)=\frac{2}{3}\sin x\sqrt{\cos x}$
[/mm]
Aber durch eine leichte Modifikation kommst Du auf das richtige Ergebnis.
>
> Bitte Hilfe^^
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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Okay, erstmal danke für die ANtwort.
Ich bin neu hier, deswegen weiß ich das nicht geht mit dem Schreiben, weil ich in diesem Eingabedeld deine HIer-Link nicht anklicken kann.
In meinem Buch Erfolg im Matheabi steht die REgel: Äußere Stammfunktion durch innere Ableitung, die hat bei anderen aufgaben, zum beispiel bei gebrochenrationalen Funktionen immer gut geholfen, aber hier i.wie nicht. Was war denn mein Fehler. Gut ich zieh nur die zweidrittel nach vorn, nicht cos(x).
Dann hätte ich:
Dann wäre meine Ableitung: -sin(x) mal 1/2 cos(x)^(-1/2). Das steht unterm Bruchstrich. Die Ableitung. Und drüber würde stehen: sin(x) *2/3-cos(x)^(3/2)
Dann kann ich das sin(x) kürzen...Das wird aber immer noch nix.....
Man, das ist doch scheiße.
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Hallo,
> In meinem Buch Erfolg im Matheabi steht die REgel: Äußere
> Stammfunktion durch innere Ableitung, die hat bei anderen
> aufgaben, zum beispiel bei gebrochenrationalen Funktionen
> immer gut geholfen, aber hier i.wie nicht.
Das ist auch weiter kein Wunder. In deinem Mathebuch steht sicherlich auch, dass die von dir zitierte Regel ausschließlich für verkette Funktionen gilt, bei denen die innere Funktion linear ist, die also vom Typ
f(x)=g(ax+b)
sind mit g(x): äußere Funktion. Für alle anderen Fälle kannst du diese Regel vergessen!
> Dann hätte ich:
> Dann wäre meine Ableitung: -sin(x) mal 1/2 cos(x)^(-1/2).
> Das steht unterm Bruchstrich. Die Ableitung. Und drüber
> würde stehen: sin(x) *2/3-cos(x)^(3/2)
> Dann kann ich das sin(x) kürzen...Das wird aber immer
> noch nix.....
Substituiere z=sin(x), und du bist auf einfachstem Weg am Ziel, denn die Gleichung
[mm] \bruch{dz}{dx}=cos(x)
[/mm]
heißt, nach dx aufgelöst, wie? (Wenn du das hast, siehst du, dass sich alles kürzt, was notwendig ist).
> Man, das ist doch scheiße.
Kann sein, es ist für dich so. Aber im Sinne eines gedeihlichen Miteinanders würde ich dich bitten, auf solche Ausdrucksweisen im Forum in Zukunft zu verzichten!
Gruß, Diophant
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Tut mir leid wegen der Ausdrucksweise, aber mathe kann echt frustrierend sein.
Also z= sin(x).
du/dx= cos(x). Also die Ableitung, richtig?
Dann forme ich das nach dx um, dann hätte ich dx= du/cos(x)
Dann setzt ich das ein, mit z statt sin(x), dann kürzt sich cos(x) weg, dann hab ich 2/3 Wurzel aus z du, und dann komm ich auf 4/9 sin(x)^(3/2).
Stimmt das? WEnn das so stimmt, bei welcher Art von Funktionen wende ich das an, wenn bei meiner REgel das nur bei g(ax+b) gilt?
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Hallo,
deine Schreibweisen sind ein ziemlicher Salat, aber es gibt ja auch gleich Abendbrot. 
Es ist
[mm] dx=\bruch{dz}{cosx}
[/mm]
Und damit wird dein Integral in der Tat zu
[mm] \bruch{2}{3}\integral{\wurzel{z} dz}
[/mm]
mit
[mm] \bruch{4}{9}*\wurzel{sin^3z}+c
[/mm]
Zu deiner letzten Frage: es gibt einen schönen Spruch unter Mathematikern:
Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst
Das soll zum Ausdruck bringen, dass die Integration viel weniger mit irgendwelchen Regeln oder Formeln zu bewerkstelligen ist, als dies beim Ableiten der Fall ist. Man benötigt da, egal auf welchem Kenmntnisstand man ist, auch eine Portion Intuition. Denn ganz nebenbei lassen sich ja viele Integrale gar nicht geschlossen darstellen, da hilft dann gar keine Regel mehr außer Potenzreihendarstellung.
Für die Theorie der Substitution gibt es schon eine Definition, die besagt, wie der Integrand ausschauen muss, damit man das Integral durch eine Substitution lösen kann. Das ist jedoch Uni-Niveau und ich weiß nicht, ob es für dich (schon) interessant ist?
Immer funktionieren tut es bspw. bei Integranden einer der beiden folgenden Typen:
[mm] a) \integral{f(x)*f'(x) dx}[/mm]
[mm] b) \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm]
Es gibt jedoch noch weitere Typen von Integralen, wo man es versuchen kann. Dein Integral ist ja auch komplizierter als die beiden oben erwähnten.
Einfach beim Üben einprägen, was geht und was nicht, dann bekommt man ein wenig ein Gefühl dafür mit der Zeit. Außerdem gibt es auch Integrale, die sich mit verschiedenen Methoden bestimmen lassen. Du siehst also, der obige Spruch hat seinen Sinn..
Gruß, Diophant
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Erstmal danke dass du mir hilfst.
Nein, ich bin nur Mathe GK und muss mich leider im März durch die Zentralabituraufgaben quälen.
Deine Beispiele wo das immer geht, versteh ich leider nicht. Was ist bei dir f'(x)?
Das ist eh alles komisch.
Bei [mm] 2xcos(x^2), [/mm] da funktioniert es mit meiner Regel äußere Stammfunktion durch innere Ableitung, aber auch das mit dem dx, was du geschrieben hast. Obwohl wir das mit dem dx nie in der Schule hatten. Mein ich, mich zu erinnern.
Das ist alles komisch.
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Hallo, du möchtest also lösen
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{3}*cos(x)*\wurzel{sin(x)} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}*\integral_{}^{}{cos(x)*\wurzel{sin(x)} dx}
[/mm]
kümmern wir uns um das Integral
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*\wurzel{sin(x)} dx}
[/mm]
du machst Substitution
z:=sin(x)
[mm] \bruch{dz}{dx}=cos(x) [/mm] die Ableitung von sin(x)
[mm] dx=\bruch{dz}{cos(x)}
[/mm]
jetzt einsetzen
[mm] \integral_{}^{}{cos(x)*\wurzel{z}*\bruch{dz}{cos(x)}}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\wurzel{z}*dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{z^{0,5} dz}
[/mm]
das Intergal ist zu schaffen, dann Rücksubstitution machen
Steffi
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