Integrieren einer Funktionsfol < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Chrism91 |
| Aufgabe | Wir betrachten für n [mm] \in \IN_{0} [/mm] die Integrale
[mm] I_{n}:=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5} dx}
[/mm]
(a) Berechnen Sie [mm] I_{0} [/mm] analytisch und geben sie une numerische Näherung an.
(b) Bestimmen sie Beschränkheit und Monotonie der [mm] I_{n} [/mm] und weisen sie damit nach, das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} I_{n}=0 [/mm] |
(a) [mm] I_{0}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x+5} dx}
[/mm]
Hier kann ich so Aufleiten und erhalte:
[mm] [ln(x+5)]_{0}^1
[/mm]
Auf die Integralgrenzen betrachtet erhalte ich dann also:
ln(6)-ln(5)=0.182
Ist das Ergebnis korrekt? Des weiteren habe ich das Ergebnis exakt ausgerechnet, aber hier ist nach einer analytischen Näherung gefragt. Wie genau so ich dafür an die Aufgabe herangehen?
(b)Ich habe auf [mm] \integral_{0}^{1}{x^n*\bruch{1}{x+5} dx} [/mm] partielle Integration angewendet, und kam auf dieses Ergebnis:
[mm] x^n*ln(x+5)-x^n*ln(x+5) [/mm] was nicht richtig scheint denke ich.
Das bringt mich für die Aufgabe allerdings auch nicht weiter und weiß wirklich nicht wie ich Monotonie und Beschränkheit bestimmen soll für Integrale.
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Hallo,
> Wir betrachten für n [mm]\in \IN_{0}[/mm] die Integrale
> [mm]I_{n}:=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5} dx}[/mm]
> (a)
> Berechnen Sie [mm]I_{0}[/mm] analytisch und geben sie une numerische Näherung an.
> (b) Bestimmen sie Beschränkheit und Monotonie der [mm]I_{n}[/mm]
> und weisen sie damit nach, das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} I_{n}=0[/mm]
>
> (a) [mm]I_{0}=\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x+5} dx}[/mm]
> Hier kann ich so Aufleiten und erhalte:
Das heißt Integrieren !
> [mm][ln(x+5)]_{0}^1[/mm]
> Auf die Integralgrenzen betrachtet erhalte ich dann also:
> ln(6)-ln(5)=0.182
Ja.
> Ist das Ergebnis korrekt? Des weiteren habe ich das
> Ergebnis exakt ausgerechnet, aber hier ist nach einer
> analytischen Näherung gefragt. Wie genau so ich dafür an
> die Aufgabe herangehen?
>
> (b)
Sei [mm] f_n:[0,1]\to\IR, x\mapsto\frac{x^n}{x+5}. [/mm]
Zur Beschränktheit. Es gilt [mm] 0\le f_n(x)\le1, [/mm] also folgt für [mm] I_n [/mm] ?
Zur Monotonie. Überlege dir [mm] $f_n\le f_m$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] m$.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mo 28.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo kamaleonti,
> kann ich so Aufleiten und erhalte:
> Das heißt Integrieren !
Leider setzt sich der Begriff "Aufleiten" bzw "Aufleitung" immer mehr durch, hier in NRW gibt es inzwischen erste Lehrbücher, die diesen Begriff nutzen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Mo 28.05.2012 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Marius,
> Leider setzt sich der Begriff "Aufleiten" bzw "Aufleitung"
> immer mehr durch, hier in NRW gibt es inzwischen erste
> Lehrbücher, die diesen Begriff nutzen.
Du hast Recht, ich habe gerade recherchiert:
Schroedel Verlag, Elemente der Mathematik 12/13:
"[...]den Prozess des Ableitens in umgekehrter Richtung vollzieht. Sprachlich richtig wird dieser Prozess gelegentlich auch Aufleiten genannt."
'Sprachlich richtig' ist dann wohl Definitionssache. Letztendlich sind Namen Schall und Rauch. Aber es ist schöner, bei einer einheitlichen Bezeichnung zu bleiben. 
LG
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
bzw. ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]"){kind=small}
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http://www.duden.de/rechtschreibung/aufleiten