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| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenden DGls auf Exaktheit und bestimmen Sie gegebenenfalls einen integrierenden Faktor. Finden Sie die Lösungen der Gleichungen in impliziter Form, und, wenn möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf.
[mm] a.)(2xy^4e^y+2xy^3+y)dx+(x^2y^4e^y-x^2y^4e^y-x^2y^2-3x)dy=0
[/mm]
[mm] b.)(1+2x^2y^2)dx+(yx^3)dy=0 [/mm] |
Hallo Forum,
also bisher einen integrierenden Faktor gefunden und die Lösungen bestimmt:
a.) [mm] F(x,y)=x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x+c
[/mm]
[mm] b.)F(x,y)=\bruch{1}{2}y^2x^4+\bruch{1}{2}x^2+c
[/mm]
Was mich bei der Aufgabe jetzt verwirrt: Was ist mit "wenn möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf."
Was für einen Sinn hat das und welche GLeichung (Niveaulinien?)
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Beste Grüße
Britta
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Sa 12.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Britta!
> Prüfen Sie die folgenden DGls auf Exaktheit und bestimmen
> Sie gegebenenfalls einen integrierenden Faktor. Finden Sie
> die Lösungen der Gleichungen in impliziter Form, und, wenn
> möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf.
>
> [mm]a.)(2xy^4e^y+2xy^3+y)dx+(x^2y^4e^y-x^2y^4e^y-x^2y^2-3x)dy=0[/mm]
>
> [mm]b.)(1+2x^2y^2)dx+(yx^3)dy=0[/mm]
> Hallo Forum,
>
> also bisher einen integrierenden Faktor gefunden und die
> Lösungen bestimmt:
> a.) [mm]F(x,y)=x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x+c[/mm]
>
> b.) [mm]F(x,y)=\bruch{1}{2}y^2x^4+\bruch{1}{2}x^2+c[/mm]
>
> Was mich bei der Aufgabe jetzt verwirrt: Was ist mit "wenn
> möglich, lösen Sie nach x bzw. y auf."
> Was für einen Sinn hat das und welche GLeichung
> (Niveaulinien?)
Die impliziten Lösungen der DGLen sind doch nicht die $F(x,y)$, sondern $F(x,y)=0$. Das heisst, die Niveaulinien der Funktion F sind die Lösungskurven der DGL.
Kannst du im Fall a die Gleichung $F(x,y)=0$ nach y auflösen?
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort.
> Die impliziten Lösungen der DGLen sind doch nicht die
> [mm]F(x,y)[/mm], sondern [mm]F(x,y)=0[/mm]. Das heisst, die Niveaulinien der
> Funktion F sind die Lösungskurven der DGL.
>
> Kannst du im Fall a die Gleichung [mm]F(x,y)=0[/mm] nach y
> auflösen?
>
>Stimmt hbe ich total vergessen.
Also dann ist die Lösung von a
[mm] x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x= \alpha
[/mm]
Hmmm also ich könnte die jetzt nicht auflösen. Nach x würde schon gehen.
Aber was hat das denn hier genau für einen Sinn wenn man das machen würde?
Grüße
Britta
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Rainer,
> danke für deine Antwort.
>
>
> > Die impliziten Lösungen der DGLen sind doch nicht die
> > [mm]F(x,y)[/mm], sondern [mm]F(x,y)=0[/mm]. Das heisst, die Niveaulinien der
> > Funktion F sind die Lösungskurven der DGL.
> >
> > Kannst du im Fall a die Gleichung [mm]F(x,y)=0[/mm] nach y
> > auflösen?
> >
> >Stimmt hbe ich total vergessen.
> Also dann ist die Lösung von a
>
> [mm]x^2e^y+x^2*\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}*x= \alpha[/mm]
> Hmmm also
> ich könnte die jetzt nicht auflösen. Nach x würde schon
> gehen.
>
> Aber was hat das denn hier genau für einen Sinn wenn man
> das machen würde?
>
> Grüße
> Britta
>
>
Die Gl.
$ [mm] x^2e^y+x^2\cdot{}\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y^3}\cdot{}x= \alpha [/mm] $
kannst Du nicht explizit nach y auflösen ! Die Lösungen der DGL sind also in impliziter Form gegeben. Man mag es bedauern, ändern kann man es nicht.
Manchmal hilft der Satz über implizit def. Funktionen weiter.
FRED
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