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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 So 20.06.2004 | | Autor: | Mathmark |
Hallo Leute !!!
Mir ist bei meinen Abiturvorbereitungen ein interessantes Problem aufgefallen.
Gegeben sei die allgemeine Funktion [mm]f(x)=x^n[/mm].
Dann gilt $ [mm] f'(x)=n\cdot x^{n-1} [/mm] $.
Ebenso gilt $ [mm] n\cdot x^{n-1}=n\cdot x^n\cdot x^{-1} =n\cdot \bruch{x^n}{x} [/mm] $.
Das würde aber bedeuten, dass $f'(x)$ für $x=0$ nicht definiert ist.
Wo liegt das Problem !!!
Danke im Voraus
Mathmark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 So 20.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mathmark
> Hallo Leute !!!
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> Mir ist bei meinen Abiturvorbereitungen ein interessantes
> Problem aufgefallen.
> Gegeben sei die allgemeine Funktion [mm]f(x)=x^n[/mm].
> Dann gilt [mm]f'(x)=n\cdot x^{n-1} [/mm].
> Ebenso gilt [mm]n\cdot x^{n-1}=n\cdot x^n\cdot x^{-1} =n\cdot \bruch{x^n}{x} [/mm].
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> Das würde aber bedeuten, dass [mm]f'(x)[/mm] für [mm]x=0[/mm] nicht definiert
> ist.
> Wo liegt das Problem !!!
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Man könnte jetzt argumentieren, dass du vom letzten Ausdruck (oder etwas genauer von [mm] $\bruch{n*(x^{n}-0^{n})}{x-0}$) [/mm] eben noch den Grenzwert für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ berechnen musst, weil die Ableitung einer Funktion ja so definiert ist, und dein ganzes Problem hätte sich zwar mathematisch gelöst, aber ein ungutes Gefühl würde vielleicht immer noch bleiben.(?)
Ich will dir deshalb noch einen weiteren Hinweis geben:
Du hast eigentlich den Bruch [mm] $\bruch{n*x^{n-1}}{1}$ [/mm] mit $x$ erweitert, un zwar an der Stelle $x=0$, oder mit anderen Worten, du hast den Bruch mit $0$ erweitert. Das darf man aber niemals tun, denn sonst könnte man auch zeigen, dass keine Zahl $5$ existiert!! 
Wie denn das?
So: [mm] $5=\bruch{5}{1}=\bruch{5*0}{1*0}=\bruch{0}{0}$, [/mm] was in dieser Form nicht definiert ist und somit die Zahl $5$ nicht existieren kann! 
Also: beim Erweitern und Kürzen von Brüchen ist stets darauf zu achten, dass man nicht mit $0$ erweitert oder kürzt! Das tönt jetzt zwar trivial, ist es manchmal aber gar nicht, weil der Ausdruck, mit dem erweitert oder gekürzt wird, nicht immer offensichtlich den Wert $0$ hat.
Vielleicht dazu ein kleines Beispiel:
Wenn du die Gleichung
[mm] $\bruch{x^{2}-25}{x+5}=-10$
[/mm]
zu lösen hast, dann musst du zuallererst argumentieren, dass $x [mm] \not [/mm] = -5$ gelten muss. (Man würde sonst ja durch $0$ dividieren.)
Nachher könntest du, unter der Voraussetzung $x [mm] \not [/mm] = -5$ weiterfahren:
[mm] $\bruch{x^{2}-25}{x+5}=-10$
[/mm]
[mm] $\bruch{(x-5)(x+5)}{x+5}=-10$
[/mm]
Jetzt kürzen mit $x+5$:
$x-5=-10$
$x=-5$
Diese Lösung zählt aber nicht, weil dein Lösungsverfahren (Kürzen mit $x+5$) ja nur gültig ist, wenn $x [mm] \not [/mm] = -5$ ist!
Somit hat obige Gleichung keine Lösung!
Ein anderes Beispiel:
Wenn du die Gleichung
[mm] $\bruch{x^{2}+x-20}{x+5}=-10$
[/mm]
zu lösen hast, dann musst du zuallererst argumentieren, dass $x [mm] \not [/mm] = -5$ gelten muss. (Man würde sonst ja durch $0$ dividieren. )
Nachher könntest du, unter der Voraussetzung $x [mm] \not [/mm] = -5$ weiterfahren:
[mm] $\bruch{x^{2}+x-20}{x+5}=-10$
[/mm]
[mm] $\bruch{(x-4)(x+5)}{x+5}=-10$
[/mm]
Jetzt kürzen mit $x+5$:
$x-4=-10$
$x=-6$
Hier ist das eine gültige Lösung, weil du in diesem Falle auf dem Weg zur Lösung mit $(-6+5) = -1$ gekürzt hast, was eine durchaus legale Operation gewesen ist!
Genügt dir das als Antwort, oder muss die Sache mit dem Grenzwert nochmals gezeigt werden?
Mit lieben Grüssen
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