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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo!
Ich weiß, meine Bezeichung für diese Diskussion ist sehr weitreichend, aber ich wusste kein besseres Thema - entschuldigung dafür erstmal 
So, mein Problem...
Ich möchte gerne eine Funktion in einem bestimmten Integral integrieren...
Ich habe das auch alles schon aufgestellt, nur kann ich das irgendwie ncihtmehr richtig.
Es geht hierum
[mm] \integral_{0}^{2}({\bruch{4x-x^3}{x^2+2}) dx}
[/mm]
Was ich dann weiter gemacht haeb, ist sicher falsch, aber ich poste es dennoch mal, vielleicht könnt ihr ja meine Fehler ausmerzen
[mm] \vmat{ \bruch{\bruch{4x^2}{2}-\bruch{x^4}{4}}{\bruch{x^3}{3}\bruch{2x}{1}} }
[/mm]
Das Ganze in den Grenzen 0-2 (ich weiß leider nicht, wie ich das hier schreiben kann)
Naja und dann würde man ja
F(2) - F(0)
rechnen.
Ehe ich damit aber weitermache, wollte ich erstmal hören, ob meine Integration/Aufleitung so stimmt - ich vermute nämlich nicht...
Und wenn das der Fall ist, dann wäre ich für jeden Hilfe dankbar!
Eure Amy
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Hallo Amy1988,
> Ich möchte gerne eine Funktion in einem bestimmten
> Integral integrieren...
> Ich habe das auch alles schon aufgestellt, nur kann ich
> das irgendwie ncihtmehr richtig.
> Es geht hierum
> [mm]\integral_{0}^{2}({\bruch{4x-x^3}{x^2+2}) dx}[/mm]
> Was ich
> dann weiter gemacht haeb, ist sicher falsch, aber ich poste
> es dennoch mal, vielleicht könnt ihr ja meine Fehler
> ausmerzen
>
> [mm]\vmat{ \bruch{\bruch{4x^2}{2}-\bruch{x^4}{4}}{\bruch{x^3}{3}\bruch{2x}{1}} }[/mm]
Wie kommst du auf diesen Mörderausdruck? Ich ahne, dass du die Terme jeden für sich einzeln integriert hast, das geht natürlich nicht.
Du kannst dich davon überzeugen, dass deine "Stammfunktion" falsch ist, wenn du sie wieder ableitest. Dabei müsste ja wieder [mm] $\frac{4x-x^3}{x^2+2}$ [/mm] herauskommen...
> Das Ganze in den Grenzen 0-2 (ich weiß leider nicht, wie
> ich das hier schreiben kann)
> Naja und dann würde man ja
> F(2) - F(0)
> rechnen.
> Ehe ich damit aber weitermache, wollte ich erstmal hören,
> ob meine Integration/Aufleitung so stimmt - ich vermute
> nämlich nicht...
Ich fürchte, da hast du recht
> Und wenn das der Fall ist, dann wäre ich für jeden Hilfe
> dankbar!
>
> Eure Amy
Das Polynom im Zähler [mm] $-x^3+4x$ [/mm] hat doch mit Grad 3 einen höheren als das Polynom im Nenner [mm] $x^2+2$ [/mm] (Grad 2)
Mache also zuerst einmal eine Polynomdivision $Zaehler:Nenner$, also
[mm] $(-x^3+4x):(x^2+2)=-x+\frac{6x}{x^2+2}$
[/mm]
Damit kannst du dein Integral aufteilen in die Summe zweier Integrale:
[mm] $\int{\frac{4x-x^3}{x^2+2} \ dx}=\int{\left(-x+\frac{6x}{x^2+2}\right) \ dx}=\int{-x \ dx}+\int{\frac{6x}{x^2+2} \ dx}$
[/mm]
Das erste ist ja klar, das zweite forme ein wenig um:
[mm] $\int{\frac{6x}{x^2+2} \ dx}=3\cdot{}\int{\frac{2x}{x^2+2} \ dx}$
[/mm]
Das ist nun ein logarithmisches Integral, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, [/mm] und das hat (bekanntlich) die Stammfunktion [mm] $\ln|f(x)|$
[/mm]
Falls ihr das nicht hattet, substituiere beim letzten Integral [mm] $u:=x^2+2$
[/mm]
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Oje, das sieht ja wirklich übel aus
Und bisher bin ich so gut mit der Analysis vorangekommen...
Ersteinmal natürlich vielen Dank für deine Antwort und die Erklärung.
Also...ich bin eine Integrier-Niete und von daher sind meine Fragen jetzt sicher ziemlich dumm, aber ich will das wirklich verstehen.
Und zwar, erstmal die Frage, ob man es generell besser im so macht, dass man eine Polynomdivision voranstellt, wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des Nennerpolynoms?!
Und dann vielleicht noch, wie gehe ich vor, wenn dsa nicht der Fall ist?
Gibt es nicht vielleicht sowas wie eine Quotientenregel beim Ableiten, die man auch auf die Integration anwenden kann?
Und nun nochmal konkret zur Aufgabe...
Dieser Teil
[mm] \integral_{0}^{2}{-x dx}
[/mm]
ist denke ich integriert dann
[mm] \bruch{-x^2}{2}
[/mm]
Bei dem andere habe ich garkeine Ahnung - tut mir Leid, ich weiß nicht, wie ich die Formal anwenden soll?!
LG, Amy
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Hallo Amy,
> Oje, das sieht ja wirklich übel aus
> Und bisher bin ich so gut mit der Analysis
> vorangekommen...
>
> Ersteinmal natürlich vielen Dank für deine Antwort und die
> Erklärung.
> Also...ich bin eine Integrier-Niete und von daher sind
> meine Fragen jetzt sicher ziemlich dumm,
nana, dumme Fragen gibt's nicht !!
> aber ich will das wirklich verstehen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und das ist gut so !!
>
> Und zwar, erstmal die Frage, ob man es generell besser im
> so macht, dass man eine Polynomdivision voranstellt, wenn
> der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des
> Nennerpolynoms?!
Man muss es nicht, aber oft kann man dadurch das Integral vereinfachen - wie hier.
Alternativ kannst du auch immer nach anderen Umformungen Ausschau halten, es muss nicht die Polynomdivision sein...
> Und dann vielleicht noch, wie gehe ich vor, wenn dsa nicht
> der Fall ist?
> Gibt es nicht vielleicht sowas wie eine Quotientenregel
> beim Ableiten, die man auch auf die Integration anwenden
> kann?
Ein Allroundrezept gibt's bei gebrochenrationalen Integranden nicht, es gibt einige bekannte Integrale, die man im Blick haben sollte, wenn man umformt.
So ein bekanntes Integral möchte man natürlich nutzen (wie hier das [mm] $\ln|f(x)|$)
[/mm]
Ansonsten hilft die Substitutionsregel manchmal weiter, sozusagen die "Umkehrung" zur Kettenregel beim Differentieren/Ableiten
>
> Und nun nochmal konkret zur Aufgabe...
> Dieser Teil
> [mm]\integral_{0}^{2}{-x dx}[/mm]
> ist denke ich integriert dann
> [mm]\bruch{-x^2}{2}[/mm]
Das stimmt schon mal !
> Bei dem andere habe ich garkeine Ahnung - tut mir Leid,
> ich weiß nicht, wie ich die Formal anwenden soll?!
Nun, ich schließe daraus, dass ihr die Substitutionsregel noch nicht hattet?
Das ist ungünstig Dann können wir die nicht nehmen.
Zur Formel: die leitet sich eigentlich auch aus der Substitutionsregel ab
Leite mal [mm] $\ln(f(x))$ [/mm] wieder ab: nach Kettenregel ist das: [mm] $\underbrace{\frac{1}{f(x)}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{f'(x)}_{\text{innere Ableitung}}=\frac{f'(x)}{f(x)}$
[/mm]
Deswegen nennt man Integrale der Form [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$ [/mm] logarithmische Integrale
Konkret haben wir hier [mm] $3\cdot{}\int{\frac{\overbrace{2x}^{=f'(x)}
}{\underbrace{x^2+2}_{=f(x)}} \ dx}=3\cdot{}\ln|x^2+2|$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
> LG, Amy
Ach ja: um die Grenzen musst du dich natürlich noch kümmern
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