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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:18 Fr 01.04.2016 | | Autor: | Yomu |
| Aufgabe | Sei f eine n-mal differenzierbare Funktion, fuer die [mm] f(x_{i}) [/mm] = [mm] y_{i} [/mm] gilt. Der ¨
Interpolationsfehler R(x) = f(x) − L(x) (L ist Polynom vom Grad n-1) ist durch
[mm] R(x)=\bruch{f^{n}(\nu)}{!n}*\produkt_{i=1}^{n}(x-x_{i})
[/mm]
fuer [mm] x_{1} \le \nu \le x_{n}
[/mm]
gegeben, falls die xi aufsteigend geordnet sind. Wo muss man die (zwei) Stuetzstellen [mm] x_{i} [/mm] waehlen, so dass
die Funktion f : x → sin(x) auf dem Intervall [0, [mm] \pi] [/mm] in der Maximumnorm, also punktweise moeglichst
genau durch ein Polynom ersten Grades interpoliert wird? |
Hallo,
Ich bin grad in der Numerik-Pruefungsvorbereitung, da hab ich diese Aufgabe gefunden, die unter "Aufgaben die man ohne Probleme loesen koennen sollte" faellt.
Allerdings hab ich damit Probleme:
Ich soll also [mm] x_{1},x_{2} [/mm] finden die den Ausdruck
[mm] \max_{x}(|\bruch{-sin(\nu)}{2}*(x-x_{1})(x-x_{2})|)
[/mm]
minimieren, es gilt aber
[mm] |\bruch{-sin(\nu)}{2}*(x-x_{1})(x-x_{2})| \le \bruch{|sin(\nu)|}{2}*|\pi^{2}| [/mm]
mit [mm] x_{1} \le \nu \le x_{n}
[/mm]
wenn ich jetzt [mm] x_{1}=0 [/mm] waehle und [mm] x_{2} [/mm] gegen Null gehen lasse dann geht [mm] sin(\nu) [/mm] gegen Null und somit auch der Fehler.
Es waere zwar schoen wenn sich sinus durch Polynome ersten Grades annaehern lassen wuerde, aber ich glaube eher dass ich was falsch verstanden habe..
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> Sei f eine n-mal differenzierbare Funktion, fuer die
> [mm]f(x_{i})[/mm] = [mm]y_{i}[/mm] gilt. Der ¨
> Interpolationsfehler R(x) = f(x) − L(x) (L ist Polynom
> vom Grad n-1) ist durch
>
> [mm]R(x)=\bruch{f^{n}(\nu)}{!n}*\produkt_{i=1}^{n}(x-x_{i})[/mm]
> fuer [mm]x_{1} \le \nu \le x_{n}[/mm]
> gegeben, falls die xi
> aufsteigend geordnet sind. Wo muss man die (zwei)
> Stuetzstellen [mm]x_{i}[/mm] waehlen, so dass
> die Funktion f : x → sin(x) auf dem Intervall [0, [mm]\pi][/mm]
> in der Maximumnorm, also punktweise moeglichst
> genau durch ein Polynom ersten Grades interpoliert wird?
> Hallo,
> Ich bin grad in der Numerik-Pruefungsvorbereitung, da hab
> ich diese Aufgabe gefunden, die unter "Aufgaben die man
> ohne Probleme loesen koennen sollte" faellt.
> Allerdings hab ich damit Probleme:
>
> Ich soll also [mm]x_{1},x_{2}[/mm] finden die den Ausdruck
>
> [mm]\max_{x}(|\bruch{-sin(\nu)}{2}*(x-x_{1})(x-x_{2})|)[/mm]
>
> minimieren, es gilt aber
>
> [mm]|\bruch{-sin(\nu)}{2}*(x-x_{1})(x-x_{2})| \le \bruch{|sin(\nu)|}{2}*|\pi^{2}|[/mm]
> mit [mm]x_{1} \le \nu \le x_{n}[/mm]
> wenn ich jetzt [mm]x_{1}=0[/mm] waehle
> und [mm]x_{2}[/mm] gegen Null gehen lasse dann geht [mm]sin(\nu)[/mm] gegen
> Null und somit auch der Fehler.
>
> Es waere zwar schoen wenn sich sinus durch Polynome ersten
> Grades annaehern lassen wuerde, aber ich glaube eher dass
> ich was falsch verstanden habe..
Hallo Yomu,
da ist mir einiges nicht ganz klar.
1.) Es wird nicht klar, was mit den [mm] x_i [/mm] gemeint sein soll. Ich nehme
an, dass es sich um gewisse (verschiedene !) x-Werte handeln soll.
Aber: welche Werte soll der Index i annehmen ?
2.) Wofür steht das [mm] \nu [/mm] ?
3.) Was meinst du mit !n ?
4.) Im Ausdruck $ [mm] \max_{x}(|\bruch{-sin(\nu)}{2}\cdot{}(x-x_{1})(x-x_{2})|) [/mm] $
rechnest du offenbar mit einer quadratischen Näherungsfunktion.
Gefragt war aber doch eine lineare Approximation ...
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Sa 02.04.2016 | | Autor: | Yomu |
Achso Entschuldigung, ich haette wohl noch erwaehnen sollen dass es sich um Polynominterpolation handelt, mit den Stuetzstellen x1,..,xn .
die oben gegebene Formel beschreibt dann (nach Aufgabenstellung) den Fehler der fuer ein [mm] \nu [/mm] zwischen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] angenommen wird.
3.) es sollte n! , also Fakultaet von n sein.
4.) Wie gesagt, das ist die Maximumsnorm der gegebenen Fehlergleichung zwischen dem Polynom 1. Grades L(x), welches aus der Interpolation entsteht, und der Ausgangsfunktion sin(x),
also [mm] \max_{x}|R(x)|=\max_{x}|L(x)-sin(x)|
[/mm]
gesucht sind die optimalen Stuetzstellen [mm] x_{1},x_{2}, [/mm] also die fuer welche [mm] \max_{x}|R(x)| [/mm] moeglichst klein wird.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 03.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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