Interpolationsproblem < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 Di 02.10.2007 | | Autor: | ernstl |
| Aufgabe | Gegeben seien die Werte
x | 3 1 2 0
y | -1 -1 1 1
Sei p(x) das Polynom 3. Grades zu diesem Interpolationsproblem.
1. Man finde p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^{2} [/mm] + [mm] a_{3}x^{3} [/mm] durch explizites Lösen eines linearen
Gleichungssystems.
2. Man finde p(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^{2} [/mm] + [mm] a_{3}x^{3} [/mm] mit dem Lagrangeschen Ansatz.
3. Man finde p(x) = [mm] b_{0} [/mm] + [mm] b_{1} (x-x_{0}) [/mm] + [mm] b_{2} (x-x_{0})(x-x_{1}) [/mm] + [mm] b_{3} (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})
[/mm]
(Newtonscher Ansatz) durch sukzessives Berechnen der [mm] b_{i}. [/mm] |
Hallo,
zu Aufgabe 1 bräuchte ich ein Bisschen Starthilfe, um es in ein LGS zu stellen (sorry, das ist mir schon peinlich zu fragen...)
Für den Lagrange und Newtonschen Ansatz könnte ich möglichst gute, kurze allgemeine Anweisungen zum Vorgehen gebrauchen. Bitte nicht direkt die Lösungen schreiben, ich versuche es selbst und stelle es hier rein.
~ernst
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Hallo ernstl!
> Gegeben seien die Werte
>
> x | 3 1 2 0
> y | -1 -1 1 1
>
> Sei p(x) das Polynom 3. Grades zu diesem
> Interpolationsproblem.
>
> 1. Man finde p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] +
> [mm]a_{3}x^{3}[/mm] durch explizites Lösen eines linearen
> Gleichungssystems.
>
> 2. Man finde p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] +
> [mm]a_{3}x^{3}[/mm] mit dem Lagrangeschen Ansatz.
>
> 3. Man finde p(x) = [mm]b_{0}[/mm] + [mm]b_{1} (x-x_{0})[/mm] + [mm]b_{2} (x-x_{0})(x-x_{1})[/mm]
> + [mm]b_{3} (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})[/mm]
> (Newtonscher Ansatz)
> durch sukzessives Berechnen der [mm]b_{i}.[/mm]
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1 bräuchte ich ein Bisschen Starthilfe, um es in
> ein LGS zu stellen (sorry, das ist mir schon peinlich zu
> fragen...)
Da bin ich ehrlich gesagt gerade auch überfragt... Es sei denn, es gibt ein Polynom, dass diese Werte exakt enthält - dann könntest du eine Art Steckbriefaufgabe draus machen (oder vielleicht geht das nicht mal? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") sorry, kann dir hier leider auch nicht helfen).
> Für den Lagrange und Newtonschen Ansatz könnte ich
> möglichst gute, kurze allgemeine Anweisungen zum Vorgehen
> gebrauchen. Bitte nicht direkt die Lösungen schreiben, ich
> versuche es selbst und stelle es hier rein.
Das ist sehr vorbildlich.  Bei Lagrange musst du erstmal die ganzen Lagrange-Polynome berechnen - evtl. hilft dir diese Diskussion hier.
Bei Newton müsste es auch so eine ähnliche Formel geben - also da müssen auch einfach Sachen nach "Schema F" berechnet werden, glaube ich. Allerdings habe ich leider kein Numerik-Buch und in Wikipedia finde ich gerade nichts Passendes. Vielleicht hast du in deinen Unterlagen was stehen?
Sorry, ich dachte, ich wüsste noch etwas mehr hier drüber...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:31 Di 02.10.2007 | | Autor: | CatDog |
Du kannst doch für p(x) die 4 y-Werte einsetzen und für x die x-Werte und erhältst für die a´s 4 Gleichungen mit vier Unbekannten
Gruss CatDog
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> Hallo ernstl!
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> > Gegeben seien die Werte
> >
> > x | 3 1 2 0
> > y | -1 -1 1 1
> >
> > Sei p(x) das Polynom 3. Grades zu diesem
> > Interpolationsproblem.
> >
> > 1. Man finde p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] +
> > [mm]a_{3}x^{3}[/mm] durch explizites Lösen eines linearen
> > Gleichungssystems.
> > zu Aufgabe 1 bräuchte ich ein Bisschen Starthilfe, um es in
> > ein LGS zu stellen
> Da bin ich ehrlich gesagt gerade auch überfragt... Es sei
> denn, es gibt ein Polynom, dass diese Werte exakt enthält -
> dann könntest du eine Art Steckbriefaufgabe draus machen
> (oder vielleicht geht das nicht mal?
Hallo,
wie es geht, hat ja CatDog gesagt.
Daß es geht, sagt der Satz, welcher mitteilt, daß durch n+1 paarweise verschiedene Punkte genau ein Polynom n-ten Grades festgelegt ist.
Gruß v. Angela
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> Gegeben seien die Werte
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> x | 3 1 2 0
> y | -1 -1 1 1
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> Sei p(x) das Polynom 3. Grades zu diesem
> Interpolationsproblem.
>
> 1. Man finde p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] +
> [mm]a_{3}x^{3}[/mm] durch explizites Lösen eines linearen
> Gleichungssystems.
>
> 2. Man finde p(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}x^{2}[/mm] +
> [mm]a_{3}x^{3}[/mm] mit dem Lagrangeschen Ansatz.
>
> 3. Man finde p(x) = [mm]b_{0}[/mm] + [mm]b_{1} (x-x_{0})[/mm] + [mm]b_{2} (x-x_{0})(x-x_{1})[/mm]
> + [mm]b_{3} (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})[/mm]
> (Newtonscher Ansatz)
> durch sukzessives Berechnen der [mm]b_{i}.[/mm]
> Hallo,
>
> zu Aufgabe 1 bräuchte ich ein Bisschen Starthilfe, um es in
> ein LGS zu stellen (sorry, das ist mir schon peinlich zu
> fragen...)
Hallo,
bei Aufgabe 1 brauchst Du nur die gegebenen Werte einzusetzen, Du erhältst dann ein LGS mit die Variablen [mm] a_i, [/mm] welches Du lösen mußt.
Da es durch n+1 paarweise verschiedene Punkte genau ein Polynom n-ten Grades gibt, wirst Du erfolgreich sein.
Außerdem weißt Du aus diesem Satz, daß Du sowohl mit Lagrange als auch mit Newton auch dieses Polynom bekommen mußt - selbst wenn es etwas "verkleidet" ist.
Wie Lagrange und Newton gehen, kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Sa 06.10.2007 | | Autor: | ernstl |
Hm... Ich steh auf dem Schlauch, wie ich bei dieser Darstellung die Werte richtig einsetze. Soll ich die y rechts (nach dem = Zeichen) schreiben und die x-Werte an Stelle von a, oder von x setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Riley |
Morgen Ernstl,
du musst die x-Werte für x einsetzen ;) , die Koeffizienten [mm] a_0,...,a_3 [/mm] wollen wir ja berechnen. Ich schreibe dir mal den Ansatz auf:
p(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] + [mm] a_3 x^3
[/mm]
Einsetzen der Werte gibt:
-1 = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot [/mm] 3 + [mm] a_2 \cdot 3^2 [/mm] + [mm] a_3 \cdot 3^3
[/mm]
-1 = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot [/mm] 1 + [mm] a_2 \cdot 1^2 [/mm] + [mm] a_3 \cdot 1^3
[/mm]
1 = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot [/mm] 2 + [mm] a_2 \cdot 2^2 [/mm] + [mm] a_3 \cdot 2^3
[/mm]
1 = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot [/mm] 0 + [mm] a_2 \cdot 0^2 [/mm] + [mm] a_2 \cdot 0^3 [/mm]
... so und das ganze zusammengefasst:
[mm] a_0 [/mm] + [mm] 3a_1 [/mm] + 9 [mm] a_2 [/mm] + 27 [mm] a_3 [/mm] = -1
[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] = -1
[mm] a_0 [/mm] + [mm] 2a_1 [/mm] + [mm] 4a_2 [/mm] + [mm] 8a_3 [/mm] = 1
[mm] a_0 [/mm] =1
das ist jetzt das gesuchte LGS, das kannst du nun selbst lösen, oder?
Zu den beiden andren Ansätzen schreib ich auch gleich noch was.
Viele Grüße,
Riley :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Ernstl,
nun zu dem Lagrang'schen Ansatz:
Die Basispolynome sind definiert durch
[mm] l_k(x) [/mm] = [mm] \prod_{j=0, j \not= k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}
[/mm]
Dazu gibt es einen schönen Satz, der besagt, dass dann das Interpolationsproblem eindeutig gelöst wird durch:
p(x) = [mm] \sum_{k=0}^n y_k l_k(x).
[/mm]
D.h. wir müssen zuerst diese Basispolynome bestimmen.
[mm] l_0(x) [/mm] = [mm] \prod_{i=1, i\not=0}^3 \frac{x - x_i}{x_0 - x_i} [/mm] = [mm] \frac{x-x_1}{x_0 - x_1} \frac{x-x_2}{x_0-x_2} \frac{x-x_3}{x_0 - x_3} [/mm]
nun kannst du wieder die x-Werte einsetzen:
... = [mm] \frac{1}{2}(x-1) [/mm] (x-2) [mm] \frac{1}{3} [/mm] (x-0) = [mm] \frac{1}{6} [/mm] x (x-1) (x-2)
das ganze geht wirklich nur nach "Schema F". Wichtig dabei ist in der Formel das j [mm] \not= [/mm] k , sonst würden wir ja durch Null teilen.
Das nächste Basispolynom sieht entsprechend so aus:
[mm] l_1(x) [/mm] = [mm] \prod_{i=0,i \not=1 }^3 [/mm] = [mm] \frac{x-x_0}{x_1 - x_0} \frac{x-x_2}{x_1 - x_2} \frac{x-x_3}{x_1-x_3}
[/mm]
Okay... ich denk das kannst du selbst weiter ausrechnen und dann die Basispolys samt den y-Werten hier einsetzen
p(x) = [mm] y_0 l_0(x) [/mm] + [mm] y_1 l_1(x) [/mm] + [mm] y_2 l_2(x) [/mm] + [mm] y_3 l_3(x)
[/mm]
Das ist dann das gewünschte Polynom in Lagrange-Darstellung :)
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hi,
hab grade gesehen, die Zeit ist ja schon abgelaufen, aber falls es noch interessiert, sikizziere ich den Lösungsweg noch kurz:
Für die Newtonsche Darstellung müssen wir diese dividierten Differenzen berechnen, für die es auch ein Schema gibt:
[mm] [y_0y_1] [/mm] = [mm] \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}
[/mm]
[mm] [y_1 y_2] [/mm] = [mm] \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
[/mm]
[mm] [y_2 y_3]= \frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}
[/mm]
aus den ersten beiden kann man dann weiterberechnen:
[mm] [y_0 y_1 y_2] [/mm] = [mm] \frac{[y_1y_2]-[y_0 y_1]}{x_2-x_0}
[/mm]
und aus den letzten beiden
[mm] [y_1 y_2 y_3] [/mm] = [mm] \frac{[y_2y_3]-[y_1y_2]}{x_3-x_1}
[/mm]
und aus diesen wiederum:
[mm] [y_0 y_1 y_2 y_3] [/mm] = [mm] \frac{[y_1 y_2 y_3] - [y_0 y_1 y_2]}{x_3 - x_0}
[/mm]
Das gewünschte Polynom hat dann folgende Darstellung:
p(x) = [mm] [y_0] [/mm] + [mm] [y_0 y_1] (x-x_0) [/mm] + [mm] [y_0 y_1 y_2] (x-x_1) (x-x_0) [/mm] + [mm] [y_0 y_1 y_2 y_3] (x-x_2) (x-x_1) (x-x_0).
[/mm]
Viele Grüße
Riley
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Sa 06.10.2007 | | Autor: | ernstl |
Klasse, vielen Dank! Ich gehe es nachher mal ausführlich durch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 08.10.2007 | | Autor: | ernstl |
Wie Würde denn die Darstellung des Polynoms 2. Grades bzw. 4. Grades aussehen?
Für 2. Grad stelle ich mir das vor:
[mm] [y_0y_1] [/mm] = [mm] \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}
[/mm]
[mm] [y_1 y_2] [/mm] = [mm] \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
[/mm]
[mm] [y_0 y_1 y_2] [/mm] = [mm] \frac{[y_1y_2]-[y_0 y_1]}{x_2-x_0}
[/mm]
p(x) = [mm] [y_0] [/mm] + [mm] [y_0 y_1] (x-x_0) [/mm] + [mm] [y_0 y_1 y_2] (x-x_1) (x-x_0) [/mm]
Ein Poly 4. Grades wäre schon ein rechte langer Rattenschwanz, oder?
Gruß
Ernst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 09.10.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Ernst,
> Wie Würde denn die Darstellung des Polynoms 2. Grades bzw.
> 4. Grades aussehen?
>
> Für 2. Grad stelle ich mir das vor:
>
> [mm][y_0y_1][/mm] = [mm]\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}[/mm]
>
> [mm][y_1 y_2][/mm] = [mm]\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/mm]
>
>
> [mm][y_0 y_1 y_2][/mm] = [mm]\frac{[y_1y_2]-[y_0 y_1]}{x_2-x_0}[/mm]
>
>
> p(x) = [mm][y_0][/mm] + [mm][y_0 y_1] (x-x_0)[/mm] + [mm][y_0 y_1 y_2] (x-x_1) (x-x_0)[/mm]
ja stimmt!
> Ein Poly 4. Grades wäre schon ein rechte langer
> Rattenschwanz, oder?
kann man wohl so sagen ;)
Allerdings hat die Newton-Darstellung auch ihre Vorteile. Man muss kein LGS lösen und wenn noch ein neuer Interpolationsknoten hinzukommt, muss man nicht alle Basispolynome (wie man es bei Lagrange müsste) nochmal neu berechnen, sondern kann einfach sein Schema ergänzen.
Viele Grüße,
Riley
>
> Gruß
> Ernst
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