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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 So 06.11.2005 | | Autor: | brain86 |
Hallo, ich brauche dringend hilfe bei folgender Aufgabe. Ich komme einfach nicht weiter.
Es sei I ein Intervall, es seien f: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
[/mm]
und g: I [mm] \rightarrow \mathbb{R}. [/mm] Ich soll zeigen:
a.) Wenn f monoton und g messbar sind, so ist f ° g : I [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] messbar.
b.) Wenn f stetig und g messbar sind, so ist f ° g : I [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] messbar.
Ich sitz da seit heute Mittag dran. bitte dringend um hilfe. brauch es leider schon morgen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> a.) Wenn f monoton und g messbar sind, so ist f ° g : I
> [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] messbar.
>
> b.) Wenn f stetig und g messbar sind, so ist f ° g : I
> [mm]\rightarrow \mathbb{R}[/mm] messbar.
Bei beiden reicht doch, dass jeweils f messbar ist - denn die Verkettung meßbarer Funktionen ist messbar (ganz einfaches Zurückziehen über die Sigma-algebren). Für stetiges f ist das dann ganz klar - folgt daraus das Urbilder offener Mengen offen sind. Monotone Funktionen sind da ein bisschen trickreicher - aber hier reicht es sich auch klar zu machen, dass der Rückzug der Intervalle [m](-\infty,c][/m] jeweils in der Borel-Sigma-Algebra sind (und es kommen ähnliche Intervalle als Rückzug heraus) .
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 06.11.2005 | | Autor: | brain86 |
Ich bin leider nicht sehr bewandert in Mathe...aber ich geb mir viel mühe es zu verstehen. Könntest du mir das in Mathematischer Form geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 So 06.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Könntest du mir das in
> Mathematischer Form geben?
Wie meinst du das? Hast du die Ideen denn verstanden? Wie ist ist bei euch messbar definiert? Ich weiß nicht, ob es dir was bringt, wenn ich die beweise einfach so ausformuleire ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 06.11.2005 | | Autor: | brain86 |
unsere DEf. war:
Falls A [mm] \subseteq [/mm] I mit [mm] chi_{A} \in [/mm] L(I), dann heißt A integrierbar bzw. messbar.
Wie ich schon sagte ich hab echt zu kämpfen mit Mathe denn ich will Geologe werden und hab Mathe für Physiker im Nebenfach. Ich versuche es zu verstehen soweit es geht. ich hab den Ansatz in den Grundzügen verstanden aber es würde mir wirklich sehr helfen, wenn du mir die beiden Beweisführungen geben könntest. danke (:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 Mo 07.11.2005 | | Autor: | brain86 |
Bitte kann mir jemd. den Beweis geben. Brauche ihn dringend. vielen DAnk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mo 07.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> unsere DEf. war:
> Falls A [mm]\subseteq[/mm] I mit [mm]chi_{A} \in[/mm] L(I), dann heißt A
> integrierbar bzw. messbar.
Hmm, das passt irgendwie nur zu "normalen" Mengen - aber wie definiert ihr dann, dass eine Abbildung messbar ist?
> Wie ich schon sagte ich hab echt zu kämpfen mit Mathe denn
> ich will Geologe werden und hab Mathe für Physiker im
> Nebenfach. Ich versuche es zu verstehen soweit es geht.
Löblich - als Naturwissenschaftler soltle man halt auch immer mathematische Grundlagen können. 
> ich
> hab den Ansatz in den Grundzügen verstanden aber es würde
> mir wirklich sehr helfen, wenn du mir die beiden
> Beweisführungen geben könntest. danke (:
Hängt halt sehr von der Definitin ab, wann Abbildungen messbar sind. Also messabr heisst normalerweise, das man eine Abbildung [m]f:(A,\cal{A})\mapsto \IR[/m] (oder gegebenenfalls [m]\IC[/m], oder aif Teilmengen ...) hat, wobei [m]\cal{A}[/m] eine Sigma-Algebra ist, so dass die Urbilder unter der Borel-Sigma-Algebra wider in [m]\cal{A}[/m] liegen. Bei unserem f hier wird wohl A wieder [m]\IR[/m] sein, und [m]\cal{A}[/m] die Borel-Sigma-Algebra.
Dann also:
Die Verkettung zweier meßbarer Abbildungen ist messbar - naja, zeurst zieht man was mittels f zurück, das ist in der Botrel-Sigma-Algebra, das zieht man mittels g zurück, und dies ist wieder in der Sigma-Algebra (eingeschränkt auf I) - also die Verkettung [m]f\circ g[/m] messbar.
Wenn f stetig ist, folgt daraus das die Urbilder offener Menegen offen sind - da die offenen Mengen ein Schnittstabiler-Erzeuger sind heisst das, das f schon messbar ist.
Wenn f monoton wachsend ist, betrachte man wieder den Schnittstabilen Erzeuger [m](-\infty,a)[/m]. Nun gilt [m]x\in f^{-1}((-\infty,a))\Rightarrow \forall y:y\le x\Rightarrow y\in f^{-1}((-\infty,a)[/m] - klar? (Folgt aus der Monotonie). Also ist das Urbild entweder leer oder von der Form [m](-\infty,a)[/m] oder [m](-\infty,a][/m] (klar?) - also alle in der Borel-Sigma-Algebra. Für f monoton fallend muss man das Argument leicht modifizieren - besser: umdrehen.
SEcki
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