Intervall gesucht < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
folgende Aufgabe:
x(t) ist eine Funktion mit [mm] x:[0,180]\to[0,40]
[/mm]
x ist stetig, streng monoton wachsend. Zudem gilt x(0)=0 und x(180)=42.
Existiert nun ein Teilintervall des Definitionsintervalls das 60 Einheiten umfasst und in dem f(x) um 14 Einheiten steigt?
mein Ansatz:
Die Umkehrfunktion [mm] x^{-1}:[0,42]\in[0,180] [/mm] ist ebsenso stetig und streng monoton wachsend.
1. Fall [mm] x^{-1}([0,14])=[0,60] [/mm] somit existiert gefordertes Teilintervall. Zudem folgt [mm] x^{-1}(14)=60, [/mm] da x streng monoton wachsend
2. Fall [mm] x^{-1}([0,14])=[0,a], [/mm] a<60
[mm] \Rightarrow x^{-1}([14,28])=[a,b], [/mm] b-a>60 oder (nicht und)
[mm] \Rightarrow x^{-1}([28,42])=[b,c], [/mm] c-b>60
Also falls b-a>60 gilt c-b<60 und umgekehrt. Das heist in dem Intervall mit >60 steigt x stärker als in dem Anderen. Nun könnte mann zwischen diesen beiden Intervallen die 60 Einheiten so auspendeln, dass es passt. D. h. es gibt so ein gefordertes Teilintervall.
Wie kann ich das korrekt formulieren?
Vielen Dank im Vorraus ich hoffe meine Erklärung war einigermaßen verständlich, sonst bitte melden
Reticella
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hallo Reticella,
> x(t) ist eine Funktion mit [mm]x:[0,180]\to[0,\red{40}][/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das muss bestimmt 42 statt 40 heissen !
> x ist stetig, streng monoton wachsend. Zudem gilt x(0)=0
> und x(180)=42.
> Existiert nun ein Teilintervall des Definitionsintervalls
> das 60 Einheiten umfasst und in dem f(x) um 14 Einheiten
> steigt?
>
> mein Ansatz:
>
> Die Umkehrfunktion [mm]x^{-1}:[0,42]\in[0,180][/mm] ist ebsenso
> stetig und streng monoton wachsend.
>
> 1. Fall [mm]x^{-1}([0,14])=[0,60][/mm] somit existiert gefordertes
> Teilintervall. Zudem folgt [mm]x^{-1}(14)=60,[/mm] da x streng
> monoton wachsend
>
> 2. Fall [mm]x^{-1}([0,14])=[0,a],[/mm] a<60
> [mm]\Rightarrow x^{-1}([14,28])=[a,b],[/mm] b-a>60 oder (nicht
> und)
> [mm]\Rightarrow x^{-1}([28,42])=[b,c],[/mm] c-b>60
>
> Also falls b-a>60 gilt c-b<60 und umgekehrt. Das heist in
> dem Intervall mit >60 steigt x stärker als in dem Anderen.
> Nun könnte mann zwischen diesen beiden Intervallen die 60
> Einheiten so auspendeln, dass es passt. D. h. es gibt so
> ein gefordertes Teilintervall.
>
> Wie kann ich das korrekt formulieren?
Ich glaube nicht, dass man die Umkehrfunktion wirklich
braucht. Was aber wichtig ist: Da [mm] \bruch{42}{180}=\bruch{14}{60} [/mm] ,
ist die mittlere Steigung der Funktion im ganzen Defini-
tionsintervall gerade gleich der mittleren Steigung im
gesuchten Teilintervall. Wären dies verschiedene Werte,
so wäre die Behauptung falsch (Gegenbeispiel $\ x(t)=m*t$).
Man kann z.B. folgende Hilfsfunktion $h$ betrachten:
Für $\ [mm] t\in [/mm] [0,120]$ sei [mm] h(t):=\bruch{x(t+60)-x(t)}{60}-\bruch{14}{60}
[/mm]
Nun wäre zu zeigen, dass $h$ mindestens eine Null-
stelle besitzt.
Zeige dazu zuerst, dass $h$ stetig ist. Nimm dann an,
$h$ habe keine Nullstelle und zeige, dass dies auf einen
Widerspruch führt.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Sa 20.12.2008 | | Autor: | reverend |
Sorry, Al. Du bist entweder gerade Mittagessen oder schreibst eine grundlegendere Abhandlung zur Frage. Hier nur ein kurzer Tipp zwischendurch:
[mm] [0;180]\rightarrow[0;42]
[/mm]
(Die Aufgabe hat offenbar jemand gestellt, der a) [mm] \pi [/mm] nicht mag, und entweder b) mit Douglas Adams vertraut ist oder c) Matthäus 1 für zentral hält. Ich tippe auf letzteres)
Im Prinzip kannst Du den "Trick" der anderen Aufgabe auch anwenden:
Definiere Dir für [mm] t\in[0;120] [/mm] ein y(t)=x(t+60)-x(t)-14 und weise die Existenz mindestens einer Nullstelle nach.
lg,
reverend
edit: guck, war ganz unnötig. Nun warst Du doch schneller, und inhaltlich nehmen wir uns ja nichts. Grüße!
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Hallo,
erstmal vielen Dank.
Die Stetigkeit war kein Problem.
Bei finden der Nulltstelle von h(t) habe ich jetzt mehrere Fälle.
Wie führe ich z. B. den Fall h(120)>0, h(0)>0 zum Widerspruch um mit dem Zwischenwertsatz dann eine Nullstelle zu folgern?
Ich habe folgendes:
h(120)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x(180)-x(120)-14=42-x(120)-14=28-x(120)>0
[mm] \Rightarrow28>x(120)
[/mm]
und
h(0)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] x(60)-x(0)-14=x(60)-14>0
[mm] \Rightarrow [/mm] x(60)>14
also 28>x(120)>x(60)>14
ich kann hier keinen Widerspruch entdecken.
Viele Grüße Reticella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Reticella |
Hallo, ich glaube ich has hinbekommen, also vorerst keine Frage mehr.
Wie kann ich ändern, dass immer noch offene Frage angezeigt wird?
Vielen Dank Retigella
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> Hallo,
>
> erstmal vielen Dank.
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> Die Stetigkeit war kein Problem.
>
> Bei finden der Nullstelle von h(t) habe ich jetzt
> mehrere Fälle.
>
> Wie führe ich z. B. den Fall h(120)>0, h(0)>0 zum
> Widerspruch um mit dem Zwischenwertsatz dann
> eine Nullstelle zu folgern?
>
> Ich habe folgendes:
>
> h(120)>0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> x(180)-x(120)-14=42-x(120)-14=28-x(120)>0
> [mm]\Rightarrow28>x(120)[/mm]
>
> und
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> h(0)>0 [mm]\Rightarrow[/mm] x(60)-x(0)-14=x(60)-14>0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x(60)>14
>
> also 28>x(120)>x(60)>14
>
> ich kann hier keinen Widerspruch entdecken.
>
> Viele Grüße Reticella
hallo Reticella,
meine Überlegung ginge so:
Hat h in [0,120] keine Nullstelle, so gibt es,
weil h stetig ist, zwei Fälle: Entweder ist
h(t)>0 für alle [mm] t\in [/mm] [0,120] oder aber h(t)<0
für alle [mm] t\in [/mm] [0,120].
Betrachten wir einmal den ersten Fall. Wegen
h(t)>0 für alle [mm] t\in [/mm] [0,120] wäre insbesondere
h(0)>0 und h(60)>0 und h(120)>0. Daraus
kann man mittels der Definition der Funktion h
(ausgewertet bei t=0, t=60 und t=120)
leicht schliessen, dass dann x(180)>42 sein
müsste, im Widerspruch zur Vorgabe x(180)=42.
Der andere Fall geht analog, mit umgekehrten
Vorzeichen. Ich denke, dass diese Überlegung
recht genau mit deiner ersten Idee überein-
stimmt.
VG al-Chwarizmi
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