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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:07 Mo 15.05.2006 | | Autor: | dresdendolls |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass ein offenes Intervall offen und ein abgeschlossenes Intervall abgeschlossen ist.
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Hey ihr alle,
Ist es möglich das dadurch zu zeigen, dass ein abgeschlossenes Intervall ein Supremum/Infimum und ein Maximum/Minimum besitzt, ein ein offenes aber nur ein Supremum/Infimum oder reicht das nicht aus?
Und falls nicht, kann man die Aufgabe mit Hilfe des Betrages lösen und wenn wie?
Hoffe ihr habt verstanden, was ich meine!=)
Viele Grüße
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Hallo und guten Morgen,
eine Teilmenge U des [mm] \IR^n [/mm] ist ja offen genau dann (bzgl. der ''Standard''_Topologie auf [mm] \IR^n), [/mm] wenn
zu jedem [mm] u\in [/mm] U ein [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert, so daß [mm] B_{\epsilon}(u):=\{v\in\IR^n|\:\: \parallel v-u\parallel_2<\epsilon\}\subseteq [/mm] U gilt.
Hier betrachtest Du den Fall n=1, und ein offenes Intervall ist dann eine Teilmenge der Form
I= [mm] (a,b)=\{x\in\IR| a< x
Zu zeigen ist also, dass solche Mengen die obige Eigenschaft haben. Das sollte doch machbar sein, oder ?
ZB wenn a<b, [mm] a,b\in\IR [/mm] und I=(a,b) gilt, dann ist doch zu [mm] x\in [/mm] I auch [mm] B_{\epsilon}(x) \subseteq [/mm] I mit
[mm] \epsilon :=\frac{1}{2}\cdot \min\{\:\: |x-a|,\: |x-b|\:\}
[/mm]
Und eine Menge heisst abgeschlossen gdw ihr Komplement offen ist, und da ist dann zu zeigen, dass
die Komplemente [mm] \IR\setminus [/mm] I für Mengen der Form [mm] I=[a,b]=\{x\in\IR\: |\: a\leq x\leq b\} [/mm] diese Eigenschaft haben.
Gruss und viel Erfolg,
Mathias
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