Intervalle < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mi 31.10.2012 | | Autor: | petapahn |
Hallo. bitte nur die Frage unten beachten...
Vielen Dank
petapahn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mi 31.10.2012 | | Autor: | petapahn |
Kann mir denn keiner helfen? .
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mi 31.10.2012 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | | Es sei x [mm] \in \IR [/mm] eine beliebige Zahl und [a;b] ein Intervall. Zeige, dass es so m,n [mm] \in \IR [/mm] gibt mit a < m < n < b und m - n > [mm] \bruch{b-a}{2}, [/mm] sodass x [mm] \not\in [/mm] [m;n] |
Okay, bitte ignoriert den oberen Post, da ich bereits bei diesem Schritt hänge. Ich dachte mir, ich lege m > [mm] \bruch{3a +b}{4} [/mm] und n < [mm] \bruch{3b +a}{4} [/mm] fest, sodass a < m < n < b und m - n > [mm] \bruch{b-a}{2} [/mm] schon mal gilt. Nun soll aber das beliebige x außerhalb [m,n] liegen. Also muss x < m oder x > n sein. Aber das gilt ja jetzt nur für bestimmte x und soll ja wahrscheinlich für alle [mm] x\in \IR [/mm] gelten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei x [mm]\in \IR[/mm] eine beliebige Zahl und [a;b] ein
> Intervall. Zeige, dass es so m,n [mm]\in \IR[/mm] gibt mit a < m < n
> < b und m - n > [mm]\bruch{b-a}{2},[/mm]
na ![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") :
Da sollte doch eher $n-m > (b-a)/2$ stehen - denn $m-n < [mm] 0\,$ [/mm] gilt doch
sicher, wenn $m < [mm] n\,$ [/mm] gelten soll?!
> sodass x [mm]\not\in[/mm] [m;n]
>
>
> Okay, bitte ignoriert den oberen Post, da ich bereits bei
> diesem Schritt hänge. Ich dachte mir, ich lege m >
> [mm]\bruch{3a +b}{4}[/mm] und n < [mm]\bruch{3b +a}{4}[/mm]
> fest,
[mm] $m\,$ [/mm] und [mm] $n\,$ [/mm] werden sowohl von [mm] $x\,$ [/mm] als auch von [mm] $a\,$ [/mm] als auch von
[mm] $b\,$ [/mm] abhängig zu wählen sein.
> sodass a <
> m < n < b und m - n > [mm]\bruch{b-a}{2}[/mm] schon mal gilt. Nun
> soll aber das beliebige x außerhalb [m,n] liegen. Also
> muss x < m oder x > n sein. Aber das gilt ja jetzt nur für
> bestimmte x und soll ja wahrscheinlich für alle [mm]x\in \IR[/mm]
> gelten.
Auch da ist mir wieder nicht ganz klar, was Du nun wissen willst - manche
Fragen bei Dir sind komisch formuliert.
Vielleicht machst Du Dir nochmal die Aufgabe klar: Das [mm] $x\,$ [/mm] bleibt eine
beliebig wählbare Zahl, nach einer Wahl hat es aber die Rolle eines
Parameters - ist also als beliebig, aber fest, anzusehen.
Vermutlich steht in der Aufgabe auch $a [mm]
andernfalls falsch!) und die [mm] $a,b\,$ [/mm] haben ebenso die Rolle von
Parametern, d.h. das Intervall ändert sich während einer Betrachtung
ebenso wenig wie das [mm] $x\,.$
[/mm]
Nun gibt es doch zwei Fälle:
1. Fall: Sei hier $x [mm] \notin [a,b]\,.$ [/mm] Setze nun etwa [mm] $m:=a+(b-a)/5\,$ [/mm] und
[mm] $n:=b-(b-a)/5\,$ [/mm] und zeige dann, dass so alle Bedingungen erfüllt sind.
2. Fall: Sei $x [mm] \in [a,b]\,.$ [/mm] Überlege Dir (gerne einfach am Zahlenstrahl),
was man bzgl. der an [mm] $m\,,n$ [/mm] geforderten Eigenschaften
a) machen sollte/könnte, wenn $x [mm] \in [a,\;(a+b)/2\red{\;)}$ [/mm] gilt
oder
b) machen sollte/könnte, wenn $x [mm] \in \red{(\;}(a+b)/2,\;b]$ [/mm] gilt.
(Wegen der Fallunterscheidung erkennt man dann, dass die [mm] $m\,,n$ [/mm] auch
in Abhängigkeit von [mm] $x\,$ [/mm] hier konstruiert/angegeben werden!)
Insbesondere überlege Dir, dass die Aufgabe so, wie sie oben formuliert
ist, falsch ist:
Betrachtet man speziell [mm] $x:=(a+b)/2\,,$ [/mm] so lassen sich nämlich die
[mm] $m,\,n$ [/mm] nicht wie gewünscht angeben:
Denn ist dann $a < m < [mm] x=(a+b)/2\,$ [/mm] und $m < n < [mm] b\,,$ [/mm] so folgt aus $n-m > (b-a)/2$
doch, wie Du Dir klarmachen solltest, dass $x [mm] \in [m,\;n]\,.$
[/mm]
Und für $x=(a+b)/2$ folgt für $m > [mm] x\,$ [/mm] (warum kann man [mm] $m=x\,$ [/mm] nicht
setzen?) dann aus $n-m > (b-a)/2$ sofort $n > [mm] b\,.$
[/mm]
Geometrisch kann man sich das leicht klarmachen - und es dann
entsprechend als Beweis aufzuschreiben, ist eigentlich genauso leicht.
P.S. Wenn Dir unklar ist, warum die Aufgabe so einen kleinen Fehler hat,
dann betrachte mal speziell
[mm] $$[a,b]=[2,6]\,$$
[/mm]
und
[mm] $$x:=4\,.$$
[/mm]
Da findest Du keine $m < [mm] n\,$ [/mm] mit $m,n [mm] \in (2,6)\,$ [/mm] wie gewünscht!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 31.10.2012 | | Autor: | petapahn |
Oh gott entschuldigung ich hatte einen Fehler in der Angabe:
Es muss heißen n-m< (b-a)/2....Ich weiß einfach nicht wie ich m und n wählen soll damit n-m< (b-a)/2 und [mm] x\not\in [/mm] [m,n] erfüllt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh gott entschuldigung ich hatte einen Fehler in der
> Angabe:
> Es muss heißen n-m< (b-a)/2....Ich weiß einfach nicht
> wie ich m und n wählen soll damit n-m< (b-a)/2 und
> [mm]x\not\in[/mm] [m,n] erfüllt ist.
das kannst Du auch dann wunderbar analog behandeln. Was hindert Dich
denn daran, Skizzen entsprechend der zu behandelnden Fälle zu machen?
Wenn ich Dir das rein formal alles vorkaue, ist's zum einen trocken, zum
anderen wirst Du Dich am Ende ärgern, dass Du das nicht selbst
hinbekommen hast.
Also los: Skizziere mal:
Leg' auf dem Zahlenstrahl für $a < [mm] b\,$ [/mm] irgendein Intervall fest - und nenne
die Grenzen halt [mm] $a\,$ [/mm] (linker Rand) und [mm] $b\,$ [/mm] (rechter Rand).
Überlege Dir, was zu tun ist, wenn $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ oder wenn $x [mm] \notin [/mm] [a,b]$
ist...
Etc. pp.
Überlege Dir das ganze "geometrisch am Zahlenstrahl" und halte Deine
Beobachtungen fest. Merke Dir aber, dass sie nur "Beobachtungen" sind -
und zwar solange, bis Du auch formal nachgewiesen hast (nur durch eine
Argumentationskette - die KEINE Anschauung benutzt), dass diese
Beobachtungen, welche dann ja erstmal nur BEHAUPTUNGEN sind, auch
begründet sind.
Und mach' Dir mal geometrisch klar, was dieses "$a < m < n < [mm] b\,$
[/mm]
mit $n-m < [mm] (a-b)/2\,$" [/mm] eigentlich bedeutet:
[mm] $n,m\,$ [/mm] müssen beide in [mm] $(a,b)\,$ [/mm] liegen, und dabei muss $m < [mm] n\,$ [/mm] sein,
und der Abstand zwischen [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $m\,$ [/mm] muss echt kleiner sein als
die Hälfte des Abstandes der Intervallgrenzen zueinander.
Wenn man sich vernünftige Skizzen macht, kann man sich geometrisch
die Behauptung "mit zwei Fingern" klarmachen, indem man alle Fälle,
[mm] $x\,$ [/mm] betreffend, dann durchspielt!
P.S. Bei der Aufgabenformulierung, wie sie hier nun da steht, empfehle ich
Dir, einfach, wenn $x [mm] \in [a,b]\,$ [/mm] liegt, die Unterfälle
$$x [mm] \in I_1:=[a,\;(a+b)/2]$$
[/mm]
oder
$$x [mm] \in I_2:=[(a+b)/2,\;b]$$
[/mm]
zu betrachten. Wenn $x [mm] \in I_1\,,$ [/mm] definiere passende $m,n [mm] \in I_2$ [/mm] und
wenn $x [mm] \in I_2\,,$ [/mm] suche solche [mm] $m,n\,$ [/mm] in [mm] $I_1\,.$
[/mm]
Und auch hier kann man den Fall $x [mm] \notin [/mm] [a,b]$ trivial behandeln (wenn $a < [mm] b\,$):
[/mm]
Etwa [mm] $m:=a+(b-a)/10\,$ [/mm] und [mm] $n:=a+2*(b-a)/10\,.$
[/mm]
Macht man sich 'ne Skizze, so "sieht" man das auch sofort. Nun rechne
es halt nach...
Gruß,
Marcel
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