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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 So 25.10.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Es sei a [mm] \in \IR [/mm] mit a > 0 und [mm] t_{0} \not= [/mm] 0. Man betrachte
[mm] t_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] t_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{t_{n}} [/mm] ), [mm] s_{n} [/mm] := [mm] \bruch{a}{t_{n}}
[/mm]
Für welche a und [mm] t_{0} [/mm] ist die Menge [mm] [s_{n} [/mm] , [mm] t_{n}] [/mm] eine Intervallschachtelung? |
Damit die Menge eine Intervallschachtelung ist, muss doch [mm] t_{n} [/mm] in [mm] s_{n} [/mm] liegen, oder ?
Um das zu prüfen, muss ich doch eigentlich [mm] t_{n} [/mm] in [mm] s_{n} [/mm] einsetzen. Wie komme ich nun an [mm] t_{n} [/mm] ? Ist
[mm] t_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] t_{n-1} [/mm] + [mm] \bruch{a}{t_{n-1}} [/mm] )
Komme grad irgendwie nicht weiter .. Wäre für jede noch so kleine Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jales,
ich hab nur ein paar Hinweise, vielleicht helfen sie dir weiter:
1. Die Iterationsvorschrift für [mm] t_{n+1} [/mm] ist das Heron-Verfahren zur numerischen Bestimmung der Wurzel von a.
2. Es ist ja dann eine Intervallschachtelung, wenn die linken Grenzen immer größer und gleichzeitig die rechten Grenzen immer kleiner werden UND wenn die rechte Grenze immer größer als die linke Grenze ist.
Wenn du jetzt prüfst, für welche a die rechte Grenze immer kleiner wird, hast du durch die Definition des [mm] s_n [/mm] automatisch, dass die immer größer werden muss.
Vielleicht hast du so zumindest eine Idee bekommen, was du zu tun hast... 
Gruß,
Martin
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:37 So 25.10.2009 | | Autor: | jales |
Leider nein, dennoch danke für ihre Antwort.
Wir haben in der Vorlesung eine Intervallschachtelung folgendermaßen Satz gehabt:
Sei [mm] (I_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Intervallschachtelung. Dann gibt es genau ein x [mm] \in \IR, [/mm] so dass x [mm] \in I_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Ich habe mir nun überlegt, über diesen Satz die Aufgabe zu lösen. Jedoch weiß ich auch hier nicht, wie ich vorgehen muss. Das Zeitproblem spielt mir noch negativ herein, da ich leider schon morgen früh abgeben muss ...
[mm] s_{n} [/mm] und [mm] t_{n} [/mm] sind ja jeweils die Grenzen des Intervalles in Abhänigkeit von a ? Muss ich also a und [mm] t_{0} [/mm] so bestimmen, dass beispielsweise a < x < [mm] t_{0} [/mm] ?
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Ich kann dir nur sagen, was passiert:
Vorgegeben wird ein a>0. Die Zahl, die deine Intervallschachtelung definiert ist [mm] \wurzel{a}.
[/mm]
Du setzt für [mm] t_0 [/mm] eine beliebige Zahl ein - wenn die kleiner ist als [mm] \wurzel{a}, [/mm] dann ist [mm] s_0 [/mm] logischerweise größer und dann hast du den Fall, dass vom Intervall [mm] [s_0, t_0] [/mm] die rechte Grenze kleiner ist als die linke. Das ist aber ab n=1 schon wieder anders, d.h. [mm] [s_1,t_1] [/mm] und weitere sind eine solche Intervallschachtelung. Und wenn [mm] t_0 [/mm] > [mm] \wurzel{a} [/mm] ist, dann passt das schon ab n=0.
Das heißt: unabhängig von deiner Wahl für a ist das eine Intervallschachtelung um [mm] \wurzel{a}.
[/mm]
Vielleicht kannst du zeigen, dass tatsächlich immer gilt (mit Ausnahme des oben genannten Falles), wenn du die Grenzen mit [mm] \wurzel{a} [/mm] vergleichst.
Also mathematisch:
Beh.: .... ist eine Intervallschachtelung mit [mm] x=\wurzel{a} [/mm] falls [mm] t_0>\wurzel{a} [/mm] und [mm] \forall [/mm] a>0
Bew: .... nachrechnen ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 25.10.2009 | | Autor: | jales |
Darf ich annehmen, dass [mm] \wurzel{a} [/mm] = [mm] t_{n+1} [/mm] ist ?
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Nein, das ist falsch.... die Folge der [mm] t_n [/mm] konvergiert gegen [mm] \wurzel{a}, [/mm] mehr aber auch nicht. In der Regel ist [mm] \wurzel{a} [/mm] ja irrational, von daher kannst du keinen exakten Dezimalbruch (also Kommazahl) angeben, die genau diese Wurzel ist. Das Verfahren liefert dir eine beliebig genaue Näherung für die Wurzel, je öfter du iterierst, umso besser wird das. Und wenn du den Grenzwert bildest, ergibt sich dort [mm] \wurzel{a}.
[/mm]
Du kannst ja mal die Gleichung [mm]t_n = \bruch{1}{2}*\links(t_n+\bruch{a}{t_n} \rechts) [/mm] nach [mm] t_n [/mm] auflösen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 25.10.2009 | | Autor: | jales |
>> Also mathematisch:
Beh.: .... ist eine Intervallschachtelung mit $ [mm] x=\wurzel{a} [/mm] $ falls $ [mm] t_0>\wurzel{a} [/mm] $ und $ [mm] \forall [/mm] $ a>0
Bew: .... nachrechnen .... <<
Ich komme einfach nicht drauf, wie ich beweesen kann, dass [mm] t_{0} [/mm] > [mm] \wurzel{a} [/mm] ...
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[mm] t_0 [/mm] muss auch nicht größer sein als [mm] \wurzel{a}. [/mm] Das ist erst ab [mm] t_1 [/mm] so, d.h. [mm] t_0 [/mm] ist beliebig, ab [mm] t_1 [/mm] ist diese Bedingung erfüllt und wenn du das einsetzt, bekommst du eine Ungleichung wie die hier:
[mm]\bruch{1}{2}*\links(t_0+\bruch{a}{t_0}\rechts)>\wurzel{a} [/mm]
Quadrieren, mit [mm] t_01^2 [/mm] multiplizieren, alles auf eine Seite ergibt dann:
[mm]t_0^4 -2at_0^2+a^2>0 [/mm]
Das ist gerade eine binomische Formel:
[mm]\links(t_0^2-a)^2>0[/mm]
Das gilt also immer, außer wenn [mm] t_0 [/mm] selbst schon [mm] \wurzel{a} [/mm] ist. Dann ist aber auch [mm] s_0=\wurzel{a} [/mm] und deine Intervallschachtelung ist fertig.
Naja, die gleiche Rechnung könntest du auch für ein beliebiges [mm] t_n [/mm] aufschreiben und bekommst immer das gleiche: entweder es ist genau [mm] \wurzel{a} [/mm] (was z.B. irgendwann passiert, wenn a=9 ist, also eine Quadratzahl), dann ist deine Intervallschachtelung sehr klein, besteht nämlich nur aus dem Intervall [mm] [\wurzel{a}, \wurzel{a}] [/mm] oder die Bedingung oben ist erfüllt und du hast die Behauptung gezeigt.
Gruß,
Martin
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