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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Di 13.05.2014 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei $X$ ein Banachraum, [mm] $f\colon [/mm] X [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] linear und stetig sowie [mm] $x_0 \in [/mm] X$ fest gewählt.
1. Zeigen Sie, dass $Tx = [mm] f(x)x_0$ [/mm] einen beschränkten linearen Operator definiert, d.h. $T [mm] \in [/mm] L(X)$. Bestimmen Sie die Operatornorm [mm] $\| T\|$. [/mm]
2. Bestimmen Sie den Inversen Operator [mm] $(\lambda [/mm] - [mm] T)^{-1}$ [/mm] für geeignete [mm] $\lambda$. [/mm] Welche [mm] $\lambda$ [/mm] sind dies?
3. Es sei $X = [mm] \mathcal{C}([0, \pi])$ [/mm] sowie [mm] $x_0, [/mm] y, [mm] \phi \in \mathcal{C}([0, \pi])$ [/mm] vorgegeben. Lösen Sie die Gleichung
[mm] $x(s)-x_0(s)\int_0^\pi \phi(t)x(t)\,\mathrm{d}t [/mm] = y(s), [mm] \qquad s\in[0, \pi]$
[/mm]
im Raum der stetigen Funktionen. Was ergibt sich im Spezialfall [mm] $x_0(s) [/mm] = s$, [mm] $\phi(s)=1$ [/mm] und [mm] $y(s)=\sin(s)$? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter. Ich habe bei 1. die Beschränktheit gezeigt und habe die Operatornorm wie folgt bestimmt:
[mm] $\|T\| [/mm] = [mm] \sup_{\|x\|_X = 1} \|f(x)x_0\|_X [/mm] = [mm] \sup_{\|x\|_X = 1}\left( \|f(x)\|_X\cdot \|x_0\|_X\right)=\|x_0\|_X\cdot \|f\|$ [/mm]
Ist hier der Rechenschritt beim zweiten "=" erlaubt? Gilt hier Gleichheit wegen des Supremums, oder geht es nicht so einfach? (Ich befürchte Letzteres...)
Zu 2. Hier denke ich, werde ich vielleicht auch selbst weiterkommen. Ich könnte mir vorstellen, das hat eventuell etwas mit Eigenwerten zu tun, so wie man das aus der Linearen Algebra kennt. Liege ich mit der Vermutung richtig?
Zu 3. Ich habe keine Ahnung, wo ich hier ansetzen soll (daher auch der Name des Diskussionsthemas). Ich habe zuerst gedacht: Das sieht ja aus wie Variation der Konstanten. Vielleicht kann man hier irgendwie Wissen von DGLs nutzen, aber ich glaube, ich bin da auf dem Holzweg. Gibt es hier irgendeine allgemeine Strategie, wie man sowas löst? Wird das vielleicht ersichtlich, wenn man versucht die Gleichung für die konkreten Funktionen zu lösen, oder benötigt man schon dafür eine allgemeine Lösungsstrategie?
Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen. Mit dem Rest von dem Zettel bin ich sehr gut durchgekommen, und würde auch hier gerne weiterkommen. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]X[/mm] ein Banachraum, [mm]f\colon X \to \mathbb{R}[/mm] linear
> und stetig sowie [mm]x_0 \in X[/mm] fest gewählt.
>
> 1. Zeigen Sie, dass [mm]Tx = f(x)x_0[/mm] einen beschränkten
> linearen Operator definiert, d.h. [mm]T \in L(X)[/mm]. Bestimmen Sie
> die Operatornorm [mm]\| T\|[/mm].
>
> 2. Bestimmen Sie den Inversen Operator [mm](\lambda - T)^{-1}[/mm]
> für geeignete [mm]\lambda[/mm]. Welche [mm]\lambda[/mm] sind dies?
>
> 3. Es sei [mm]X = \mathcal{C}([0, \pi])[/mm] sowie [mm]x_0, y, \phi \in \mathcal{C}([0, \pi])[/mm]
> vorgegeben. Lösen Sie die Gleichung
> [mm]x(s)-x_0(s)\int_0^\pi \phi(t)x(t)\,\mathrm{d}t = y(s), \qquad s\in[0, \pi][/mm]
>
> im Raum der stetigen Funktionen. Was ergibt sich im
> Spezialfall [mm]x_0(s) = s[/mm], [mm]\phi(s)=1[/mm] und [mm]y(s)=\sin(s)[/mm]?
> Hallo zusammen,
> ich komme bei der obigen Aufgabe nicht weiter. Ich habe bei
> 1. die Beschränktheit gezeigt und habe die Operatornorm
> wie folgt bestimmt:
>
> [mm]\|T\| = \sup_{\|x\|_X = 1} \|f(x)x_0\|_X = \sup_{\|x\|_X = 1}\left( \|f(x)\|_X\cdot \|x_0\|_X\right)=\|x_0\|_X\cdot \|f\|[/mm]
>
> Ist hier der Rechenschritt beim zweiten "=" erlaubt? Gilt
> hier Gleichheit wegen des Supremums, oder geht es nicht so
> einfach? (Ich befürchte Letzteres...)
Du hast das schon fast richtig.
[mm] ||T||=\sup_{\|x\|_X = 1} ||f(x)x_0||=\sup_{\|x\|_X = 1} |f(x)|*||x_0||_X=(\sup_{\|x\|_X = 1} |f(x)|)*||x_0||_X=||f||*||x_0||_X.
[/mm]
>
> Zu 2. Hier denke ich, werde ich vielleicht auch selbst
> weiterkommen. Ich könnte mir vorstellen, das hat eventuell
> etwas mit Eigenwerten zu tun, so wie man das aus der
> Linearen Algebra kennt. Liege ich mit der Vermutung
> richtig?
Bestimme zunächst alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] mit:
[mm] \lambda-T [/mm] ist bijektiv.
Dann berechne für diese [mm] \lambda [/mm] den Operator $ [mm] (\lambda [/mm] - [mm] T)^{-1} [/mm] $
>
> Zu 3. Ich habe keine Ahnung, wo ich hier ansetzen soll
> (daher auch der Name des Diskussionsthemas). Ich habe
> zuerst gedacht: Das sieht ja aus wie Variation der
> Konstanten. Vielleicht kann man hier irgendwie Wissen von
> DGLs nutzen, aber ich glaube, ich bin da auf dem Holzweg.
> Gibt es hier irgendeine allgemeine Strategie, wie man sowas
> löst? Wird das vielleicht ersichtlich, wenn man versucht
> die Gleichung für die konkreten Funktionen zu lösen, oder
> benötigt man schon dafür eine allgemeine
> Lösungsstrategie?
Du musst die Sache in den obigen Rahmen "pressen":
Für x [mm] \in [/mm] X setze [mm] f(x):=\int_0^\pi \phi(t)x(t)\,\mathrm{d}t [/mm] und definiere T wie in 1 (mit der gegebenen Funktion [mm] x_0)
[/mm]
Die Integralgleichung ist dann gleichbedeutend mit
(1-T)x=y.
Zeige also, dass 1-T bijektiv ist und berechne dann x aus der Gleichung
[mm] x=(1-T)^{-1}y
[/mm]
(mit 2.)
FRED
>
> Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen. Mit dem Rest
> von dem Zettel bin ich sehr gut durchgekommen, und würde
> auch hier gerne weiterkommen. :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:55 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Lustique |
Hallo FRED,
danke für deine Hilfe!
> Du hast das schon fast richtig.
>
> [mm]||T||=\sup_{\|x\|_X = 1} ||f(x)x_0||=\sup_{\|x\|_X = 1} |f(x)|*||x_0||_X=(\sup_{\|x\|_X = 1} |f(x)|)*||x_0||_X=||f||*||x_0||_X.[/mm]
>
Danke für den Hinweis. Hier hatte ich wohl übersehen, dass [mm] $f:X\to \mathbb{R}$ [/mm] und nicht [mm] $f:X\to [/mm] X$. :)
> Bestimme zunächst alle [mm]\lambda \in \IR[/mm] mit:
>
> [mm]\lambda-T[/mm] ist bijektiv.
Ich befürchte, das klingt jetzt nach einer dämlichen Frage, aber wie genau müsste ich das tun?
Ich habe einfach mal deinen zweiten Rat befolgt:
> Dann berechne für diese [mm]\lambda[/mm] den Operator [mm](\lambda - T)^{-1}[/mm]
und komme dann für [mm] $\lambda \ne [/mm] 0, [mm] \lambda\ne f(x_0)$ [/mm] und [mm] $x_0\ne 0\in [/mm] X$ auf:
[mm] $(\lambda -T)^{-1}(y) [/mm] = A(y):= [mm] \frac{y+\frac{x_0\cdot f(y)}{\lambda - f(x_0)}}{\lambda}$ [/mm]
Dafür habe ich dann gezeigt [mm] $(\lambda [/mm] - [mm] T)\circ [/mm] A [mm] =A\circ (\lambda -T)=\mathrm{id}_X$. [/mm] Habe ich damit dann schon alle Fälle erledigt? Für [mm] $\lambda [/mm] = [mm] f(x_0)$ [/mm] bekomme ich es nämlich leider nicht hin, eine Umkehrfunktion auszurechnen, aber das muss ja nichts heißen. Im obigen Fall habe ich auch recht viel herumprobiert. Dass es für [mm] $\lambda=0$ [/mm] nicht gehen kann, ist klar, denke ich, da ja dann [mm] $T\equiv 0\in [/mm] L(X)$ (oder?), und das kann ja nicht bijektiv sein, es sei denn $X$ enthält nur $0$.
> Du musst die Sache in den obigen Rahmen "pressen":
>
> Für x [mm]\in[/mm] X setze [mm]f(x):=\int_0^\pi \phi(t)x(t)\,\mathrm{d}t[/mm]
> und definiere T wie in 1 (mit der gegebenen Funktion [mm]x_0)[/mm]
>
> Die Integralgleichung ist dann gleichbedeutend mit
>
> (1-T)x=y.
>
> Zeige also, dass 1-T bijektiv ist und berechne dann x aus
> der Gleichung
>
> [mm]x=(1-T)^{-1}y[/mm]
>
> (mit 2.)
Danke auch für den Tipp! Ich habe mal versucht die Aufgabe mit den konkret angegebenen Werten zu lösen, nachdem ich die Funktionen in meine(n Kandidaten für eine) Umkehrfunktion eingesetzt habe. Ich komme damit auf
[mm] $x(s)=\frac{\sin(s)+2s}{1-\frac{\pi^2}{2}}$, [/mm] aber wenn ich das dann wieder in meine Integralgleichung einsetze, komme ich nicht wieder auf $y(s) = [mm] \sin(s)$... [/mm]
Ich habe jetzt leider meine Rechnungen nicht hier, aber wenn ich an die noch herankomme, dann kann ich auch noch meinen Rechenweg dazu hier einstellen. Sonst kann ich das Ganze bei Bedarf auch einfach nochmal nachrechnen.
Ich hoffe du kannst mir auch noch bei meinen neuen Fragen behilflich sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 15.05.2014 | | Autor: | Lustique |
Es hat sich hier alles geklärt. Ich hatte mich nur verrechnet, bzw. habe den Rest auch selbst herausbekommen. Es muss sich hier also niemand mehr bemühen.
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