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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | a) Man bestimme alle $A [mm] \in GL(n,\IR)$, [/mm] so dass für alle $B [mm] \in GL(n,\IR)$ [/mm] gilt $AB=BA$.
b) Man bestimme alle $A [mm] \in M(n,\IR)$, [/mm] so dass für alle $B [mm] \in M(n,\IR)$ [/mm] gilt $AB=BA$.
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Hallo zusammen,
diese Woche geht es um inverse Matrizen.
Die Multiplikation von Matrizen ist im allgemeinen ja nicht kommutativ und $AB=BA $ gilt nur für [mm] $B=A^{-1}$.
[/mm]
$ [mm] GL(n,\IR)$ [/mm] ist die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen. Also ist A invertierbar. Aber die Lösung kann doch nicht einfach nur sein, dass [mm] $A=B^{-1}$ [/mm] ist.
Und worin besteht der Unterschied zu b)?
Viele Grüße.
Palonina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mo 02.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> a) Man bestimme alle [mm]A \in GL(n,\IR)[/mm], so dass für alle [mm]B \in GL(n,\IR)[/mm]
> gilt [mm]AB=BA[/mm].
> b) Man bestimme alle [mm]A \in M(n,\IR)[/mm], so dass für alle [mm]B \in M(n,\IR)[/mm]
> gilt [mm]AB=BA[/mm].
> Die Multiplikation von Matrizen ist im allgemeinen ja
> nicht kommutativ und [mm]AB=BA[/mm] gilt nur für [mm]B=A^{-1}[/mm].
Dafür gilt es auch, aber eben nicht nur. Den Fall müßtest du etwas sorgfältiger analysieren, z. B. wenn die B's Matrizen mit 1en auf der Diagonalen, einem [mm] \lambda [/mm] außerhalb der Diagonalen und Nullen sonst sind.
> [mm]GL(n,\IR)[/mm] ist die Menge aller invertierbaren nxn-Matrizen.
> Also ist A invertierbar. Aber die Lösung kann doch nicht
> einfach nur sein, dass [mm]A=B^{-1}[/mm] ist.
>
> Und worin besteht der Unterschied zu b)?
Der volle Matrizenring ist doch größer, also könnte es mehr (oder auch weniger) Matrizen geben, die kommutieren. Was ist z. B. mit der Nullmatrix?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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