Inverse der matrix^^ < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] A=\pmat{ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 0} [/mm] und b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
Berechnen sie die Inverse von A sowie mit Hilfe der Cramerschen Regel die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax=b |
Kann mir jmd dabei helfen?
weiss nicht was zu machen ist, oder wie ich die inverse berechnen soll...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zur Berechnung des Inversen Schreibe in einer größeren Matrix die Matrix A auf die linke Seite und die Einheitsmatrix auf die Rechte. Das sieht dann so aus:
[mm]A=\pmat{ 4 & 5 & 6 & | & 1 & 0 & 0\\ 5 & 6 & 7 & | & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 4 & 0 & | & 0 & 0 & 1}[/mm]
Nun ist dein Ziel, mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen auf der linken Seite eine Einheitsmatrix zu erzeugen. Die rechte Seite wird aber auch in deine jeweiligen Umformungen mit einbezogen. Falls du also zum Beispiel beim Umformen der Matrix A die erste Zeile mal 2 nimmst, so musst du auch die erste Zeile der rechten Matrix mal 2 nehmen.
Wenn du die linke Seite (also die Matrix A) so in die Einheitsmatrix überführt hast, steht rechts die zu A inverse Matrix [mm] A^{-1}.
[/mm]
Für den zweiten Teil mit dem Vektor b solltest du die Cramersche Regel können. Was du auf jeden Fall schon mal machen musst, ist die Determinante von A zu bestimmen.
Dann sagt die Cramersche Regel:
"Lösungen des LGS Ax=b sind [mm] x_{i}=\bruch{det(B_{i})}{det(A)}",
[/mm]
wobei [mm] B_{i} [/mm] die Matrix A ist, wobei die i-te Spalte durch b ersetzt wurde.
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also ich habe nun das inverse berechnet und das ergebnis ist : -14 0 2,5
-13 9 2,5
-8 5 2,5
ist das nun richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Disap |
> also ich habe nun das inverse berechnet und das ergebnis
> ist : -14 0 2,5
> -13 9 2,5
> -8 5 2,5
>
> ist das nun richtig so?
Mach doch die Probe, es muss gelten [mm] A*A^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] * A = I
Bei dir kommt da nicht die Einheitsmatrix heraus, also hast du die verkehrte Inverse berechnet.
Mfg
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Lessequal |
kann mir vielleicht jmd die einzelnen schritte der berechnung angeben?
ich hab nun zum 5x versucht das inverse zu bestimmen , aber es kommt immer das falsche heraus..:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 31.05.2008 | | Autor: | Disap |
> kann mir vielleicht jmd die einzelnen schritte der
> berechnung angeben?
Was hälst du denn davon, deine Rechenschritte mal aufzuschreiben?
> ich hab nun zum 5x versucht das inverse zu bestimmen ,
> aber es kommt immer das falsche heraus..:(
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1.
6 4 0 | 0 0 1
5 6 7 | 0 1 0 II-III
4 5 6 | 1 0 0
2.
6 4 0 | 0 0 1 :6
5 6 7 | 0 1 0 :5
1 1 1 | -1 1 0
3.
1 1 1 | -1 1 0 *5 dann sub - II
5 6 7 | 0 1 0
6 4 0 | 0 0 1
4.
1 1 1 | -1 1 0 *6 sub.- III
0 -1 -2| -5 4 0
6 4 0 | 0 0 1
5.
1 1 1 | - 1 1 0
0 -1 -2|-5 4 0 *2 + III
0 2 6| -6 6 5
6.
1 1 1| -1 1 0
0 -1 -2| -5 4 0
0 0 2 | -16 10 5
7.
0 -1 -2 | -5 4 0
1 1 1 |-1 1 0
0 0 1 | -8 5 2,5
8.
0 -1 -2 | -5 4 0
1 0 1 | -6 5 0
0 0 1 | -8 5 2,5 III-II
9.
0 -1 2 | -5 4 0 : -2
1 0 0 | -14 0 2,5
0 0 1 | -8 5 2,5
10.
1 0 0 | -14 0 2,5
0 -1 -2 | -5 4 0 III+II
0 0 1 |-8 5 2,5
11.
1 0 0 |-14 0 2,5
0 1 -1 |-13 9 2,5
0 0 1 | -8 5 2,5 III+ II
12.
1 0 0 | - 14 0 2,5
0 1 0 | -21 14 5
0 0 1 | -8 5 2,5
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> 1.
> 6 4 0 | 0 0 1
> 5 6 7 | 0 1 0 II-III
> 4 5 6 | 1 0 0
>
> 2.
> 6 4 0 | 0 0 1 :6
> 5 6 7 | 0 1 0 :5
> 1 1 1 | -1 1 0
>
> 3.
> 1 1 1 | -1 1 0 *5 dann sub - II
> 5 6 7 | 0 1 0
> 6 4 0 | 0 0 1
>
> 4.
> 1 1 1 | -1 1 0 *6 sub.- III
> 0 -1 -2| -5 4 0
> 6 4 0 | 0 0 1
>
> 5.
> 1 1 1 | - 1 1 0
> 0 -1 -2|-5 4 0 *2 + III
> 0 2 6| -6 6 [mm] \red{5 }
[/mm]
Hallo,
an der markierten Stelle hast Du einen Fehler.
Gruß v. Angela
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danke :)
das hat mir schon sher geholfen,
jedoch finde ich den zweiten fehler irgendwie nicht!
hat jmd vielleicht noch ein tipp
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> das hat mir schon sher geholfen,
> jedoch finde ich den zweiten fehler irgendwie nicht!
> hat jmd vielleicht noch ein tipp
Schreib doch erstmal die Rechnung von der fehlerhaften Stelle an in korrigierter Form auf. Dann koennen wir weitersuchen.
Oder weisst du (irgendwoher), dass in den Schritten vor dem von Angela gefundenen Fehler noch einer steckt?
LG Felix
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ich hab den fehler gefunden :)
Ich habe nun zum zweiten teil der aufgabe : mit Hilfe der Cramerschen Regel die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax=b
die determinante von A bestimmt
[mm] \vmat{ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 0 } [/mm] = 2
was wäre denn nun der nächste schritt?
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> ich hab den fehler gefunden :)
>
> Ich habe nun zum zweiten teil der aufgabe : mit Hilfe der
> Cramerschen Regel die Lösung des linearen Gleichungssystems
> Ax=b
>
> die determinante von A bestimmt
>
> [mm]\vmat{ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 0 }[/mm] = 2
Die ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> was wäre denn nun der nächste schritt?
Ich hatte dir oben schon die Cramersche Regel hingeschrieben:
Die Lösungen des LGS Ax = b sind
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] \bruch{\det(B_{i})}{\det(A)},
[/mm]
wobei [mm] B_{i} [/mm] die Matrix A ist, wobei die i-te Spalte durch den Vektor b ersetzt wurde. Bei dir wären also die Lösungen:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\det(B_{1})}{\det(A)} [/mm] = [mm] \bruch{\overbrace{\vmat{ 0 & 5 & 6\\ 0 & 6 & 7\\ 4 & 4 & 0}}^{\mbox{Matrix A, wobei 1.Spalte durch b ersetzt}}}{2}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\det(B_{2})}{\det(A)} [/mm] = [mm] \bruch{\overbrace{\vmat{ 4 & 0 & 6\\ 5 & 0 & 7\\ 6 & 4 & 0}}^{\mbox{Matrix A, wobei 2.Spalte durch b ersetzt}}}{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{\det(B_{3})}{\det(A)} [/mm] = [mm] \bruch{\overbrace{\vmat{ 4 & 5 & 0\\ 5 & 6 & 0\\ 6 & 4 & 4}}^{\mbox{Matrix A, wobei 3.Spalte durch b ersetzt}}}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:17 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Dann sagt die Cramersche Regel:
>
> "Lösungen des LGS Ax+b sind
> [mm]x_{i}=\bruch{det(B_{i})}{det(A)}",[/mm]
>
> wobei [mm]B_{i}[/mm] die Matrix A ist, wobei die i-te Spalte durch B
> ersetzt wurde.
Hier haben sich zwei kleine Tippfehler eingeschlichen: einmal heisst das LGS $A x = b$ und nicht $A x + b$, und dann wird die $i$-te Spalte durch $b$ ersetzt und nicht durch $B$ 
LG Felix
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