Inverse einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist Matrix A= [mm] \pmat{ 1-i & 1+i \\ 5 & 3+4i }
[/mm]
Ist A invertierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die inverse Matrix. |
Ich habe zunächst die Determinante (->Invertierbarkeit) ausgerechnet und 2+6i [mm] \not= [/mm] 0 rausbekommen, die Matrix sollte also invertierbar sein.
Dann habe die Gauß-Elimination angewendet (ich sehe leider gerade nicht, wie man das hier darstellen kann, deswegen schreibe ich es als 2 Matrizen):
[mm] \pmat{ 1-i & 1+i \\ 5 & 3+4i }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] -3I -> [mm] \pmat{ 1-i & 1+i \\ 2-3i & i }\pmat{ 1 & 0 \\ -3 & 1 } [/mm] dann jeweils *i -> [mm] \pmat{ 1-(-1) & 1-1 \\ 2-(-3) & -1 }\pmat{ i & 0 \\ -3i & i } [/mm] -> [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 5 & -1 }\pmat{ i & 0 \\ -3 & i } [/mm] I/2-> [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 5 & -1 }\pmat{ 1/i & 0 \\ -3i & i } [/mm] -5I [mm] ->\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }\pmat{ 1/2i & 0 \\ -11/2i & i } [/mm] II*(-1) [mm] ->\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }\pmat{ 1/2i & 0 \\ 11/2i & -i }
[/mm]
Irgendwo steckt da aber ein Fehler, denn wenn ich meine Matrix A nun mit der vermeintlichen Inversen multipliziere erhalte ich nicht die Einheitsmatrix...
Habe ich mich verrechnet, habe ich bei der Elimination eine Regel missachtet?
Danke für's drübergucken
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Hallo dadadada,
> Gegeben ist Matrix A= [mm]\pmat{ 1-i & 1+i \\
5 & 3+4i }[/mm]
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> Ist A invertierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die
> inverse Matrix.
> Ich habe zunächst die Determinante (->Invertierbarkeit)
> ausgerechnet und 2+6i [mm]\not=[/mm] 0 rausbekommen, die Matrix
> sollte also invertierbar sein.
Ich komme zwar auf [mm]2-4i[/mm], aber das ist ebenfalls [mm]\neq 0[/mm]
>
> Dann habe die Gauß-Elimination angewendet (ich sehe leider
> gerade nicht, wie man das hier darstellen kann, deswegen
> schreibe ich es als 2 Matrizen):
>
> [mm]\pmat{ 1-i & 1+i \\
5 & 3+4i }\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 0 }[/mm] -3I
> -> [mm]\pmat{ 1-i & 1+i \\
2\red{-}3i & i }\pmat{ 1 & 0 \\
-3 & 1 }[/mm]
Hier steckt schon ein Fehler: wenn du Zeile 1 mit [mm]-3[/mm] multiplizierst, ergibt das in der ersten Komponente [mm]-3\red{+}3i[/mm], addiert auf die 2.Zeile also [mm]2\red{+}3i[/mm]
Aber mache dir die Rechnung doch einfacher.
Gesucht ist ein [mm]x\in\IC[/mm], so dass [mm](1-i)\cdot{}x=-5[/mm] ist.
Dann kannst du das [mm]x[/mm]-fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile addieren und bekommst im Eintrag [mm]a_{21}[/mm] eine Null
Also [mm](1-i)x=-5\Rightarrow x=\frac{-5}{1-i}=\frac{-5(1+i)}{2}\ldots[/mm]
> dann jeweils *i -> [mm]\pmat{ 1-(-1) & 1-1 \\
2-(-3) & -1 }\pmat{ i & 0 \\
-3i & i }[/mm]
> -> [mm]\pmat{ 2 & 0 \\
5 & -1 }\pmat{ i & 0 \\
-3 & i }[/mm] I/2->
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
5 & -1 }\pmat{ 1/i & 0 \\
-3i & i }[/mm] -5I
> [mm]->\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -1 }\pmat{ 1/2i & 0 \\
-11/2i & i }[/mm]
> II*(-1) [mm]->\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }\pmat{ 1/2i & 0 \\
11/2i & -i }[/mm]
>
> Irgendwo steckt da aber ein Fehler, denn wenn ich meine
> Matrix A nun mit der vermeintlichen Inversen multipliziere
> erhalte ich nicht die Einheitsmatrix...
>
> Habe ich mich verrechnet, habe ich bei der Elimination eine
> Regel missachtet?
>
> Danke für's drübergucken
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Do 18.11.2010 | | Autor: | dadiedada |
Du hast recht, beim Nachrechnen ergibt 2-4i.
> Hier steckt schon ein Fehler: wenn du Zeile 1 mit [mm]-3[/mm]
> multiplizierst, ergibt das in der ersten Komponente
> [mm]-3\red{+}3i[/mm], addiert auf die 2.Zeile also [mm]2\red{+}3i[/mm]
>
oh graus, das Vorzeichen.
>
> Gesucht ist ein [mm]x\in\IC[/mm], so dass [mm](1-i)\cdot{}x=-5[/mm] ist.
>
> Dann kannst du das [mm]x[/mm]-fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile
> addieren und bekommst im Eintrag [mm]a_{21}[/mm] eine Null
Verstehe ich das richtig, ich soll die Gleichungen dann gleich lösen? Erfülle ich denn damit noch die Aufgabenstellung (finden sie die Inverse...)?
> Also [mm](1-i)x=-5\Rightarrow x=\frac{-5}{1-i}=\frac{-5(1+i)}{2}\ldots[/mm]
>
>
> > dann jeweils *i -> [mm]\pmat{ 1-(-1) & 1-1 \\
2-(-3) & -1 }\pmat{ i & 0 \\
-3i & i }[/mm]
> > -> [mm]\pmat{ 2 & 0 \\
5 & -1 }\pmat{ i & 0 \\
-3 & i }[/mm]
> I/2->
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
5 & -1 }\pmat{ 1/i & 0 \\
-3i & i }[/mm] -5I
> > [mm]->\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -1 }\pmat{ 1/2i & 0 \\
-11/2i & i }[/mm]
> > II*(-1) [mm]->\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }\pmat{ 1/2i & 0 \\
11/2i & -i }[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Do 18.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hast noch mehr Fehler drin: Deine Multiplikationen mit i sind katastrophal.
Es ist i(1-i)= i+1 und nicht =2 !!!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Do 18.11.2010 | | Autor: | dadiedada |
Sorry, das Thema mit den imaginären Zahlen ist beinah genauso frisch wie die Matrizen :(
Ich war so sehr darauf versteift, meine i s aus dem linken Teil zu entfernen dass ich einfacheren Dinge unter den Tisch fallen lassen habe.
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