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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Fr 09.11.2007 | | Autor: | MathiasK |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeige, dass [mm] (A^{-1})'=(A')^{-1}. [/mm] |
Hallo,
Diese Frage dürfte eigentlich nicht so schwierig sein, aber ich stecke irgendwie fest. Das A ist in diesem Fall eine lineare Abbildung, und man sollte diesen kleinen Beweis mit Hilfe der bilinearen Form durchführen.
Besten Dank für jeglich Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Fr 09.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ich vermute mal, nach der wahl deines titels, dass $A$ eine quadratische, invertierbare matrix ist und $'$ für transponieren steht? ich weiß nicht, ob hier die betrachtung von bilinearformen wirklich der zeilführende weg ist. ich würde einfach mal mit hilfe der rechenregeln für das transponieren
[m] (A^{-1})' \cdot A' [/m]
ausrechnen und mit der definierenden relation für eine inverse matrix von $A'$ vergleichen. was kann man damit mithilfe der eindeutigkeit der inversen schließen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 10.11.2007 | | Autor: | MathiasK |
Hey,
besten Dank für deine Antwort, ist dieses Vorgehen korrekt?
[mm] (A^{-1})'A'=(A*A^{-1})'=I
[/mm]
[mm] A'(A')^{-1}=(A^{-1})'A'
[/mm]
[mm] A'(A')^{-1}(A')^{-1}=(A^{-1})'
[/mm]
[mm] (A')^{-1}=(A^{-1})'
[/mm]
Nochmals vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 11.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm](A^{-1})'A'=(A*A^{-1})'=I[/mm]
das reicht doch (fast) schon. zumindest hast du damit gezeigt, dass [mm] $(A^{-1})'$ [/mm] das linksinverse zu $A'$ ist. jetzt noch argumentieren, dass es auch rechtsinvers ist und dass das inverse eindeutig ist, dann bist du fertig.
> [mm]A'(A')^{-1}=(A^{-1})'A'[/mm]
> [mm]A'(A')^{-1}(A')^{-1}=(A^{-1})'[/mm]
> [mm](A')^{-1}=(A^{-1})'[/mm]
hier fehlen irgendwelche zeichen dazwischen (ich denke mal implikationspfeile). ansonsten ist mir noch nicht ganz klar, warum die erste zeile diese dreierblocks gelten sollte.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:34 Mo 12.11.2007 | | Autor: | MathiasK |
OK, alles klar. Besten Dank für deine Hilfe!!!
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