Inverses eines Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 So 02.04.2006 | | Autor: | taura |
Hallo zusammen!
Bin grad auf folgende Aussage gestoßen: Bei Endomorphismen eines Vektorraums gilt $AB=Id\ \ [mm] \Rightarrow B=A^{-1}$
[/mm]
Eigentlich muss ja gelten AB=BA=Id. Warum folgt hier aus der obigen Aussage direkt die Kommutativität? Muss wohl irgendwie über die Determinante zu beweisen sein, aber ich komm nicht drauf.
Würd mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Gruß taura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 02.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Bin grad auf folgende Aussage gestoßen: Bei Endomorphismen
> eines Vektorraums gilt [mm]AB=Id\ \ \Rightarrow B=A^{-1}[/mm]
Gilt nur im Endlichdim,ensionalem!
> Eigentlich muss ja gelten AB=BA=Id. Warum folgt hier aus
> der obigen Aussage direkt die Kommutativität? Muss wohl
> irgendwie über die Determinante zu beweisen sein, aber ich
> komm nicht drauf.
Da B injektiv ist, wird eine basis auf eine Basis abgebildet. Dies bestimmt das Verhalten von A vollständig, also sei [m]b_j[/m] Basis, dann ist auch [m]B(b_j)[/m] Basis und A wirdt die neue Basis auf die alte. Jetzt gilt [m]B*A=id[/m] sicher auf den Basislementen, also durch lineare Fortsetzung überall.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 02.04.2006 | | Autor: | taura |
Danke, SEcki!
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