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| Aufgabe | A1a.) Schreiben Sie [mm] $x^4+1$ [/mm] und [mm] $x^8+1$ [/mm] als Produkte von reell irreduziblen Polynomen.
b.) Zeigen Sie, dass die Polynome aus a) irreduzibel über [mm] $\IQ$ [/mm] sind.
A2.) Sei $K$ ein endlicher Körper. Zeigen Sie
a.) Ist $|K|$ ungerade, so existiert ein $k [mm] \in [/mm] K$, sodass das Polynom [mm] $x^2-k$ [/mm] irreduzibel über $K$ ist.
b.) Ist $|K|$ eine Potenz von $2$, so existiert ein $k [mm] \in [/mm] K$, sodass das Polynom [mm] $x^2+x+k$ [/mm] irreduzibel ist. |
Hallo zusammen,
habe einige Probleme bei den Aufgaben und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Zunächst aber meine Ansätze.
zu A1.)
a.) Meine Form wäre [mm] $x^4+1 [/mm] = [mm] (x^2+i)(x^2-i)$ [/mm] und beide Polynome haben Nullstellen in [mm] $\IC$ [/mm] und sind daher irreduzibel über [mm] $\IR$ [/mm] oder muss man das weiter ausführen?
Bei [mm] $x^8+1 [/mm] = [mm] (x^4+i)(x^4-i)$ [/mm] ist dies analog.
b.) Da beide Polynome bereits irreduzibel über [mm] $\IR$ [/mm] sind und [mm] $\IQ \subseteq \IR$ [/mm] gilt, sind diese Polynome auch irreduzibel über [mm] $\IQ$.
[/mm]
zu A2.)
a.)Ich habe irgendwie keinen passenden Ansatz, denn z.B. über [mm] $\IF_3$ [/mm] und [mm] $\IF_5$ [/mm] ist [mm] $x^2-2$ [/mm] irreduzibel. Welchen Ansatz kann ich denn allgemeingültig am besten wählen?
b.) Ist ja im Grunde analog zu a) und auch da fehlt mir der allgemeine Ansatz, wenn mir diesen also jemand dezent vermitteln könnte :)
Grüße
Joe
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moin,
> zu A1.)
> a.) Meine Form wäre [mm]x^4+1 = (x^2+i)(x^2-i)[/mm] und beide
> Polynome haben Nullstellen in [mm]\IC[/mm] und sind daher
> irreduzibel über [mm]\IR[/mm] oder muss man das weiter ausführen?
> Bei [mm]x^8+1 = (x^4+i)(x^4-i)[/mm] ist dies analog.
Du sollst das ganze als Produkt reeller irreduzibler Polynome schreiben; deine beiden Faktoren sind jeweils nicht reell.
Bedenke, dass es auch reelle irreduzible Polynome vom Grad > 1 geben kann. Dein erstes Polynom ist zum Beispiel Produkt zweier Polynome vom Grad 2, die beide über [mm] $\IR$ [/mm] irreduzibel sind.
> b.) Da beide Polynome bereits irreduzibel über [mm]\IR[/mm] sind
> und [mm]\IQ \subseteq \IR[/mm] gilt, sind diese Polynome auch
> irreduzibel über [mm]\IQ[/mm].
Sie sind nicht irreduzibel über [mm] $\IR$, [/mm] daher ist hier noch ein wenig was zu tun.
> zu A2.)
> a.)Ich habe irgendwie keinen passenden Ansatz, denn z.B.
> über [mm]\IF_3[/mm] und [mm]\IF_5[/mm] ist [mm]x^2-2[/mm] irreduzibel. Welchen Ansatz
> kann ich denn allgemeingültig am besten wählen?
Das Polynom [mm] $x^2-k$ [/mm] ist irreduzibel über $K$ genau dann, wenn es keine Nullstelle hat (da es Grad 2 hat). Nehmen wir mal an wir haben eine Nullstelle $n [mm] \in [/mm] K$. Dann erfüllt dieses $n$ die Gleichung [mm] $n^2=k$, [/mm] oder anders ausgedrückt: $k$ ist ein Quadrat in $K$.
Betrachte dir mal die Abbildung $f: K [mm] \to [/mm] K, n [mm] \mapsto n^2$.
[/mm]
Welche Eigenschaft muss $f$ haben, damit es für jedes $k [mm] \in [/mm] K$ ein $n [mm] \in [/mm] K$ gibt mit [mm] $n^2=k$? [/mm] Kannst du dies widerlegen? (bedenke: $|K|$ ist endlich).
> b.) Ist ja im Grunde analog zu a) und auch da fehlt mir der
> allgemeine Ansatz, wenn mir diesen also jemand dezent
> vermitteln könnte :)
Analog zu a) betrachte die Abbildung $f: K [mm] \to [/mm] K, n [mm] \mapsto n^2+n$.
[/mm]
Beachte, dass hier $+1=-1$ ist, da $K$ ein Körper der Charakteristik 2 ist, dann bist du schon fast fertig.
lg
Schadow
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Hallo shadowmaster,
danke für deine Antwort.
Also zu A1a.)
Ich weiß, dass jedes Polynom von Grad 2 oder 3 irreduzibel ist genau dann, wenn es keine Nullstelle hat. Für Grad 4 gilt es erst wenn es sich ebenfalls nicht in irreduzible Polynome 2. Grades zerlegen lässt (z.B. [mm] $(x^2+1)^2$). [/mm]
Die Antwort wäre [mm] $x^4+1 [/mm] = [mm] (x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$ [/mm] und diese sind irreduzibel, da keine Nullstellen in [mm] $\IR$. [/mm] Bei [mm] $x^8+1 [/mm] = [mm] (x^4-\sqrt{2}x^2+1)(x^4+\sqrt{2}x^2+1) [/mm] = ...$*
*EDIT: Habe den Ansatz [mm] $(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)=x^4+1$ [/mm] gewählt und habe obige Lösung nochmals verifiziert. Bei [mm] $x^8+1$ [/mm] ging es dann mit [mm] $x^2+bx+1$ [/mm] mit $b = [mm] \pm \sqrt{2 \pm \sqrt{2}}$ [/mm] weiter (also insgesamt 4 Polynome vom Grad 2).
b.)
Ich weiß, dass [mm] $\pm \sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] und daher kann ich obige Polynome in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] nicht darstellen und daher sind diese irreduzibel.
A2a.)
Deine Argumentation ist schlüssig und so wie du es mir erläuterst müsste $f$ zumindestens surjektiv sein und das gilt ja schon in [mm] $\IF_3$ [/mm] nicht, da kein $k [mm] \in \IF_3$ [/mm] existiert für das gilt $k [mm] \cdot [/mm] k = 2$. In [mm] $\IF_2/(x^2+x+1)$, [/mm] also sprich GF(4) ist dies der Fall.
Wie kann ich das jedoch generell zeigen? Jeder Körper mit einer ungeraden Kardinalität ist entweder isomorph zu [mm] $\IF_p$ [/mm] mit p Primzahl oder wird gewonnen durch Faktorisierung mit irreduziblen Polynomen und daher mit Charakteristik p. Ich weiß, dass es nicht surjektiv sein kann, aber wie kann ich das allgemeingültig ausdrücken?
b.)
Könntest du mir diesen Ansatz erläutern? Also das Vorzeichen in [mm] $\IF_2$ [/mm] keine Rolle spielen ist mir klar, aber wie kommst du auf die Abbildung und wie kommst du dann auf den Zielgedanken?
Grüße
Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 28.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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