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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:37 So 13.03.2016 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A = [mm] \frac{1}{8}\pmat{ 1 & 7 & - \sqrt{14} \\ 7 & 1 & \sqrt{14} \\ \sqrt{14} & - \sqrt{14} & - 6} [/mm] .
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Ich habe schon bewiesen, dass es sich bei der linearen Abbildung Phi, von v auf A*v, um eine Isometrie des euklidischen Standardraumes handelt.
Jedoch habe ich Probleme bei der Berechnung der Isometrie-Normalform.
Mit der [mm] A+A^T- [/mm] Trick aus dem Skript berechne ich durch das charakteristische Polynom, die Eigenwerte von [mm] A+A^T.
[/mm]
Diese sind -3/2 und 2. Daraus folgt, dass die Eigenwerte von A -3/4 und 1 sind.
Damit komme ich zu meinem eigentlichen Problem:
Es müsste jetzt für die Drehwinkel: cos w1 = -3/4 und cos w2 = 1 gelten.
Es ist zwar alles komplett richtig, da cos^-1(-3/4) = 2,418858406 ist und
sin(2,418858406) = 0,6614378278, was [mm] \sqrt{7}/4 [/mm] ist.
Aber da ich keinen Taschenrechner benutzen darf, ist das ein wenig zu kompliziert.
Gibt es da einen anderen Weg?
Vielen Dank für die Tipps!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 So 13.03.2016 | | Autor: | Paddi15 |
Ok, es hat sich erledigt. Habe eine einfache Form zum Lösen des Sinus und Cosinus gefunden.
Für alle anderen, falls ihr die selben Schwierigkeiten habt:
Die Eigenwerte von [mm] A+A^T [/mm] sind ja: -3/4 und 2.
Die die Anzahl der Eigenwerte von 2, also die alegebraische Vielfachheit (hier ist diese 1), sagt uns wie viele 1er es in der Isometrienormalform gibt. Also eine 1.
Der Cosinus wird wie folgt berechnet: [mm]\cos \omega = \frac{\lambda}{2}[/mm] , also gilt cos /omega = -3/4.
Der Sinus: [mm]\sin \omega = \sqrt{1 - \frac{\lambda^2}{4}}[/mm] , also kommt man dann aus sinus /omega = [mm] \sqrt{7/16} [/mm] , was ja [mm] \sqrt{7} /4[/mm] ist.
Ich hoffe ich konnte paar Leuten hiermit helfen.
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