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Hallo,
Ich versuche gerade die Begriffe,selstadjungierte Endomorphismen und Isometriengruppe zu verstehen,ist eine selbstadjungierte matrix das gleiche wie eine symmetrische matrix?
Diese Begriffe stehen glaube ich irgendwie im Zusammenhang mit einer Orthnormalbasis und was eine Orthonormalbasis ist,weiß ich:eine Basis aus Eigenvektoren,die alle die Länge 1 haben und paarweise aufeinander senkecht sind.
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
lieben gruß
eva marie
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Hallo nochmal,
Kann mir denn niemand von euch helfen?Ich habe die Bedeutung der Begriffe immer noch nicht verstanden.
viele grüße
eva marie
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> und was eine Orthonormalbasis
> ist,weiß ich:
Hallo,
ich fürchte: nein.
> eine Basis aus Eigenvektoren,die alle die
> Länge 1 haben und paarweise aufeinander senkecht sind.
ONB hat doch zunächst überhaupt gar nichts mit Eigenvektoren zu tun.
Eine Basis, deren Vektoren paarweise orthogonal und normiert sind, ist eine ONB.
In gewissen Fällen gibt es ONBs aus Eigenvektoren.
> ist eine
> selbstadjungierte matrix das gleiche wie eine symmetrische
> matrix?
Wenn es sich um eine reelle Matrix handelt, dann ja.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Danke,aber das mit dem selbstadjungiert,habe ich noch nicht richtig verstanden.Ich habe eine Definition gefunden.
Ein [mm] \mu \in [/mm] End(V) heißt selbstadjungiert,falls v,w [mm] \in [/mm] V gilt: [mm] <\mu(v),w>=, [/mm] was sagt mir diese Aussage?Ich habe nach Beispielen oder Aufgaben gesucht aber nichts gefunden.Kann mir vielleicht jemand da helfen?
mfg
eva marie
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Ich habe eine Definition gefunden.
> Ein [mm]\mu \in[/mm] End(V) heißt selbstadjungiert,falls v,w [mm]\in[/mm] V
> gilt: [mm]<\mu(v),w>=,[/mm] was sagt mir diese Aussage?
Hallo,
ist Dir überhaupt klar, was die spitzen Klammern bedeuten? Ein Skalarprodukt.
Ich beschränke mich jetzt mal auf reelle Vektorräume - man könnte die Sache auch in unitären betrachten.
Die selbstadjungierten Endomorphismen spielen sich in euklidischen Vektorräumen ab, also in Vektorräumen mit einem Skalarprodukt.
Wir gehen jetzt mal in den [mm] \IR^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt und gucken uns den Endomorhismus
[mm] \phi: \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y}\mapsto \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\vektor{x \\ y} [/mm]
an.
Es ist
[mm] \Phi(\vektor{1 \\ 0})*\vektor{1 \\ 2}=(\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\vektor{1 \\ 0} )*\vektor{1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 3}*\vektor{1 \\ 2}=1 [/mm] + 6=7
und
[mm] \vektor{1 \\ 0}*\phi(\vektor{1 \\ 2})=\vektor{1 \\ 0}*(\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }\vektor{1 \\ 2} [/mm] ) [mm] =\vektor{1 \\ 0}*\vektor{5 \\ 11}=5+0=5.
[/mm]
Ich habe also zwei Vektoren u,v gefunden, für welche [mm] \phi(u)*v=u*\phi(v) [/mm] nicht gilt, und somit ist meine Abbildung [mm] \phi [/mm] nicht selbstadjungiert.
Nun nehmen wir eine andere Abbildung:
[mm] \psi: \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y}\mapsto \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 5 }\vektor{x \\ y} [/mm]
Nun rechne mal nach, daß sie selbstadjungiert ist.
Nimm Dir [mm] u:=\vektor{u_1 \\ u_2}, v:=\vektor{v_1 \\ v_2} [/mm] und rechne nach, daß [mm] \psi(u)*v=u*\phi(v) [/mm] richtig ist.
Gruß v. Angela
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Hallo,
Vielen dank für die Hilfe!Jetzt kann ich mir was unter selbstadjungiert vorstellen.Ich habe bei der Aufgabe in beiden Fällen dies heraus
[mm] \pmat{ v_{1}*(u_{1}+2*u_{2}) \\ v_{2}*(2*u_{1}+5*u_{2} }
[/mm]
Ich habe das jetzt auch für [mm] A=A^t [/mm] getestet,da stimmt das ja dann auch immer oder?Aber was ist eine Isometrie oder Isometriegruppe?
mfg
eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
>
> Vielen dank für die Hilfe!Jetzt kann ich mir was unter
> selbstadjungiert vorstellen.Ich habe bei der Aufgabe in
> beiden Fällen dies heraus
>
> [mm]\pmat{ v_{1}*(u_{1}+2*u_{2}) \\ v_{2}*(2*u_{1}+5*u_{2} }[/mm]
>
> Ich habe das jetzt auch für [mm]A=A^t[/mm] getestet,da stimmt das ja
> dann auch immer oder?Aber was ist eine Isometrie oder
> Isometriegruppe?
>
> mfg
> eva marie
Eine Isometrie ist eine Abbildung, welche die Abstände gleich lässt, d.h. für alle x,y gilt: d(x,y) = d(f(x),f(y)) - hattet ihr schon die Definition von Metrik?
Wenn man es auf euklidische Vektorräume überträgt, dann ist eine Isometrie eine Abbildung, welche sich aus einer Drehung und/oder einer Verschiebung und/oder einer Spiegelung zusammensetzt.
Wenn man nur die Drehungen/Spiegelungen betrachtet, dann kann man sie durch eine entsprechende Drehmatrix darstellen, z.B. dreht im [mm] \IR^{2} [/mm] die Matrix [mm] \pmat{ cos(x) & -sin(x) \\ sin(x) & cos(x) } [/mm] einen Vektor um den Winkel x. Nimmt man alle diese Matrizen zusammen, dann kann man eine Gruppe daraus bauen, wenn man als Verknüpfung die Hintereinanderausführung der Drehungen/Spiegelungen (bei den Matrizen also einfach die Matrixmultiplikation) nimmt.
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Hallo,
Nee das mit der Spiegelung und Drehung hatten wir noch nicht außer ich habe irgendwas verpasst aber das hoffe ich ja mal nicht.Ich habe gelesen dass das euklidische Skalarprodukt im 2.Argument linear,also bilinear ist und für das hermitesche nur dies gilt:
[mm] =<\overline{\lambda w,v}>=\overline{\lambda} *<\overline{w,v>}=\overline{\lambda} *<\overline{v,w}>
[/mm]
Hier versteh ich auch wieder nicht ganz die Defintion,was heißt dieser STRICH über dem Skalarprodukt??
mfg
eva marie
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> für das hermitesche nur dies gilt:
> [mm]=<\overline{\lambda w,v}>=\overline{\lambda} *<\overline{w,v>}=\overline{\lambda} *<\overline{v,w}>[/mm]
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> Hier versteh ich auch wieder nicht ganz die Defintion,was
> heißt dieser STRICH über dem Skalarprodukt??
Hallo,
das hermitesche Skalarprodukt spielt sich ja in einem komplexen Vektorraum ab, und die Striche Bedeuten, daß Du das konjugiert Komplexe nehmen sollst.
Wenn z.B. <u,v>= 5 - 3i ist, ist [mm] \overline{}=\overline{5 - 3i}=5+3i.
[/mm]
Gruß v. Angela
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