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| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe mit p Elementen, wobei p eine Primzahl ist. Beweisen Sie, dass G isomorph zu [mm] (\IZ / p\IZ, +) [/mm] ist. Bleibt die Aussage auch richtig, wenn man p Elemente durch [mm] p^{2} [/mm] ersetzt? |
Hallo Zusammen,
ich habe mit obiger Aufgabe so meine Probleme.
Es ist ja so, dass es, wenn die Gruppen isomorph sind, eine Abbildung
[mm] \varphi : G \to ( \IZ / p\IZ, +), g \mapsto [g] [/mm]
gibt mit [mm] \varphi (e) = [0] [/mm].
Ich finde aber keinen Ansatz, wie ich beweisen könnte, dass die beiden Gruppen isomorph sind.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Di 27.03.2007 | | Autor: | comix |
Zunächst muss G eine zyklische Gruppe sein, wobei jedes Element außer e als erzeugendes Element verwendet werden kann.
(Ann.: e [mm] \not= [/mm] g [mm] \in [/mm] G erzeugt nicht ganz G, dann hätten wir eine echte Untergruppe. Das geht nicht, da die Ordnung von G eine Primzahl ist.)
Nun folgt das Ergebnis aus einem Satz (Klassifikation der zyklischen Gruppen). Der verwendet folgende Abbildung:
[mm] \phi: \IZ \to [/mm] G
[mm] k\mapsto g^{k}, [/mm] für ein g [mm] \in [/mm] G, wobei g [mm] \not= [/mm] e
Die Abbildung ist ein surjektiver Homomorphismus. Nach dem Homomorphisatz gibt es einen Isomorphismus:
[mm] \psi [/mm] : [mm] \IZ/p\IZ \to [/mm] G
[mm] [k]\mapsto g^{k}
[/mm]
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