Isomorphismen angeben < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hallo Ihr!
Kurz vorm Examen hätte ich noch eine dringende Frage an euch:
Wenn ich zwei Gruppen G und H gegeben habe die zueinander isomorph sein sollen, wie kann ich dann den Isomorphismus finden der G auf H abbildet? Gibts da nen "Trick" oder hilft da nur suchen und finden?
Als Beispiel hab ich hier eine Aufgabe für euch:
Es sei (G,*) = (Z/7 \ {0}, * mod7) und (H,o) = (Z/6,+)
Geben sie einen Isomorphismus von G auf H an.
Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen, mein Examen steht direkt vor der Tür 
Danke schonmal,
liebe Grüße,
Nicole
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Hallo Du,
Bei Deinem Beispiel geht das besonders leicht, da beide Gruppen zyklisch sind. Es gilt:
G = <2> = [mm] $\{2^k | k \in \IZ \}$ [/mm] = [mm] $\{2^k | k = 0 \ldots 5 \}$
[/mm]
H = <1> = [mm] $\{k*1 | k \in \IZ \}$ [/mm] = [mm] $\{k*1 | k= 0 \ldots 5 \}$
[/mm]
(Mit 2 und 1 sind natürlich die entsprechenden Restklassen gemeint. Potenz bzw. Multiplikation sind die Multiplikation bzw. Addition innerhalb der Gruppe.)
Der Isomorphismus ist also:
[mm] $\phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H: [mm] g=2^k \mapsto [/mm] h=k*1$
Im Allgemeinen ist es hilfreich, für beide Gruppen ein Erzeugendensystem zu finden.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Eine Rückfrage hätte ich allerdings noch zur Schreibweise. Wir haben Isomorphismen immer als f(x) = x+1 (nur als Beispiel) angegeben.
Geht das mit dem von dir genannten auch in dieser Form?
Sorry dass ich da nicht ganz mitkomm, gehör zu den Studenten die von allen Fachgebieten was mitbekommen ums dann am Ende des Studiums nahezu vergessen zu können, weil das meine Grundschüler wohl sowieso nicht interessiert
Danke nochmal.
Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 20.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Huhu,
g [mm] \mapsto [/mm] h bedeutet "g wird abgebildet auf h (durch die Funktion [mm] \phi)". [/mm]
[mm] \phi(g) [/mm] = h ist also im Prinzip nur eine andere Schreibweise dafür.
In Deinem Fall gilt also
[mm] \phi( 2^{k}) [/mm] = k*1, das ist der Isomorphismus.
Liebe Grüße,
djmatey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, hier (noch einmal) das allgemeine Vorgehen:
Versuche, wenn immer möglich, Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme abzubilden und dabei die Elemente des Erzeugendensystems der einen Gruppe auf diejenigen Elemente des Erzeugendensystems der anderen Gruppe abzubilden, welche die gleiche Ordnung haben.
Bei zwei zyklischen Gruppen wird einfach ein Erzeuger der einen Gruppe auf einen Erzeuger der anderen Gruppe abgebildet.
Mehr gibt es leider nicht zu sagen, es gibt bei so etwas keine Patentrezepte, leider. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Sa 20.08.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi Ihr!
Vielen Dank für die schnellen und hilfreichen Antworten.
Jetzt bleibt nur noch zu hoffen dass am Montag alles gutgeht
Liebe Grüße,
Nicole
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