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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 So 17.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Definiere auf [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] die Relation (a,b) ~ (c,d): [mm] \gdw [/mm] a+d = b+c.
[mm] (\IN [/mm] x [mm] \IN)/ [/mm] ~ bildet mit [mm] \overline{(a,b)}+\overline{(c,d)} [/mm] = [mm] \overline{(a+c,b+d)} [/mm] eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] f:((\IN [/mm] x [mm] \IN)/ [/mm] ~), +) [mm] \to (\IZ, [/mm] +), [mm] \overline{(a,b)} \mapsto [/mm] a-b wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus ist. |
Guten Abend,
bräuchte eure Hilfe. Habe bereits die Wohldefiniertheit gezeigt und das es sich um einen Homomorphismus handelt. Nun muss ich noch zeigen, dass die Funktion bijektiv ist. Habe folgendes gemacht:
Injektiv: Seien [mm] \overline{(a,b)} \not= \overline{(c,d)} \Rightarrow [/mm] a+d [mm] \not= [/mm] b+c [mm] \Rightarrow [/mm] a-c [mm] \not= [/mm] b-d [mm] \Rightarrow f(\overline{(a,b)}) \not= f(\overline{(b,d)}) \Rightarrow [/mm] f ist injektiv. Darf man das so machen? Stimmt das?
Surjektiv: Hier habe ich Schwierigkeiten. Sei y [mm] \in \IZ. [/mm] Nun muss ich [mm] \overline{(a,b)} [/mm] finden, so dass [mm] f(\overline{(a,b)}) [/mm] = y. Also a-b = y [mm] \Rightarrow [/mm] a = y +b [mm] \Rightarrow \overline{(a,b)} [/mm] = [mm] \overline{(y,0)}. [/mm] Es gilt also [mm] f(\overline{(y,0)}) [/mm] = y-0 = y. Somit ist f surjektiv. Ist das so richtig?
LG Loriot95
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> Definiere auf [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] die Relation (a,b) ~ (c,d): [mm]\gdw[/mm]
> a+d = b+c.
> [mm](\IN[/mm] x [mm]\IN)/[/mm] ~ bildet mit
> [mm]\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}[/mm] = [mm]\overline{(a+c,b+d)}[/mm]
> eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]f:((\IN[/mm] x [mm]\IN)/[/mm]
> ~), +) [mm]\to (\IZ,[/mm] +), [mm]\overline{(a,b)} \mapsto[/mm] a-b
> wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus ist.
> Guten Abend,
>
> bräuchte eure Hilfe. Habe bereits die Wohldefiniertheit
> gezeigt und das es sich um einen Homomorphismus handelt.
> Nun muss ich noch zeigen, dass die Funktion bijektiv ist.
> Habe folgendes gemacht:
> Injektiv: Seien [mm]\overline{(a,b)} \not= \overline{(c,d)} \Rightarrow[/mm]
> a+d [mm]\not=[/mm] b+c [mm]\Rightarrow[/mm] a-c [mm]\not=[/mm] b-d [mm]\Rightarrow f(\overline{(a,b)}) \not= f(\overline{(b,d)}) \Rightarrow[/mm]
> f ist injektiv. Darf man das so machen? Stimmt das?
Hallo,
ja, das ist richtig.
>
> Surjektiv: Hier habe ich Schwierigkeiten. Sei y [mm]\in \IZ.[/mm]
> Nun muss ich [mm]\overline{(a,b)}[/mm] finden, so dass
> [mm]f(\overline{(a,b)})[/mm] = y. Also a-b = y [mm]\Rightarrow[/mm] a = y +b
> [mm]\Rightarrow \overline{(a,b)}[/mm] = [mm]\overline{(y,0)}.[/mm] Es gilt
> also [mm]f(\overline{(y,0)})[/mm] = y-0 = y. Somit ist f surjektiv.
> Ist das so richtig?
Bei Euch gehört die 0 zu [mm] \IN? [/mm] Sonst ist es natürlich nicht richtig.
Anderes Pronlem: was ist, wenn z.B. y=-7? Hier solltest Du nochmal nachdenken.
Das Prinzip jedenfalls hast Du richtig verstanden.
Gruß v. Angela
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