Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei $ [mm] \IR^{*}:=\{r \in \IR | r > 0\}. [/mm] $ Man zeige dass $ [mm] (\IR,+) [/mm] $ und $ [mm] (\IR^{*},\cdot{}) [/mm] $ isomorph sind. |
Erste Frage: Stimmt es, dass die neutralen Elemente der Gruppen aufeinander abgebildet werden, wenn es sich um Isomorphismus handelt?
Zweite Frage: ich muss zeigen, dass f bijektiv ist und homomorph (bedeutet das, dass f(a+b)=f(a)*f(b)?)
Ich hab schon mal was gebastelt, weiss aber nicht ob mich das weiterbringt:
Sei a [mm] \in \IR, [/mm] dann muss genau ein f(a) [mm] \in \IR [/mm] >0 , sodass f(a*a*a....*a)=f [mm] (a^n)=a
[/mm]
und ein b [mm] \in \IR [/mm] >0 dann muss es genau ein f(b) [mm] \in \IR [/mm] geben, mit [mm] f(b+b+b...+b)=f(b^n)=b
[/mm]
stimmt das? Wie mache ich weiter? Kann ich sagen, dass dann [mm] f(b)=\wurzel[n]{b} [/mm] und [mm] f(a)=\wurzel[n]{a} [/mm] ?
Um Injektivität zu zeigen, müsste ich ja eigentlich dann zeigen, dass aus f(a)=f(b) folgt, dass a=b ....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]\IR^{\*}:=\{r \in \IR | r > 0\}.[/mm] Man zeige dass
> [mm](\IR,+)[/mm] und [mm](\IR^{\*},\cdot{})[/mm] isomorph sind.
ich habe mal Deinen [mm] $*\,$ [/mm] zu [mm] $\*$ [/mm] geändert, damit man "mehr" sieht!
> Erste Frage: Stimmt es, dass die neutralen Elemente der
> Gruppen aufeinander abgebildet werden, wenn es sich um
> Isomorphismus handelt?
Was weißt Du diesbezüglich denn über Homomorphismen? Man kann es
sich auch selbst überlegen:
Seien [mm] $(G_1,\*)$ [/mm] bzw. [mm] $(G_2,\circ)$ [/mm] Gruppen mit neutralem Element [mm] $e\,$ [/mm] bzw. [mm] $E\,$ [/mm] und es
sei $h [mm] \colon G_1 \to G_2$ [/mm] ein Homomorphismus. Dann gilt
$h(e)=h(e [mm] \* [/mm] e)=h(e) [mm] \circ h(e)\,,$
[/mm]
und damit schon [mm] $h(e)=E\,.$ [/mm] (Ist klar, dass aus
$x [mm] \circ [/mm] x=x$ für $x [mm] \in G_2$
[/mm]
schon [mm] $x=E\,$ [/mm] folgt?)
> Zweite Frage: ich muss zeigen, dass f bijektiv ist und
> homomorph (bedeutet das, dass f(a+b)=f(a)*f(b)?)
Wenn $f [mm] \colon (\IR,+) \to (\IR^{\*},\cdot)$ [/mm] ein Homomorphismus ist: Ja.
Du weißt aber doch sicher, was eine Gruppe ist und wie (Gruppen-)
Homomorphismen definiert sind?
> Ich hab schon mal was gebastelt, weiss aber nicht ob mich
> das weiterbringt:
>
> Sei a [mm]\in \IR,[/mm] dann muss genau ein f(a) [mm]\in \IR[/mm] >0 , sodass
> f(a*a*a....*a)=f [mm](a^n)=a[/mm]
???
Du meinst
[mm] $f(n*a)=f(a+a+...+a)=f(a)*f(a)*...*f(a)={(f(a))}^n\,.$
[/mm]
> und ein b [mm]\in \IR[/mm] >0 dann muss es genau ein f(b) [mm]\in \IR[/mm]
> geben, mit [mm]f(b+b+b...+b)=f(b^n)=b[/mm]
Siehe oben: Was machst Du hier?
> stimmt das? Wie mache ich weiter? Kann ich sagen, dass dann
> [mm]f(b)=\wurzel[n]{b}[/mm] und [mm]f(a)=\wurzel[n]{a}[/mm] ?
> Um Injektivität zu zeigen, müsste ich ja eigentlich dann
> zeigen, dass aus f(a)=f(b) folgt, dass a=b ....
Ich gebe Dir mal einen Tipp:
Was leistet eigentlich bspw.
[mm] $\exp \colon (\IR,+) \to (\IR^{\*},\cdot)$?
[/mm]
(Du kannst auch Funktionen wie
[mm] $u_a(x):\equiv a^x=\exp(x*\ln(a))$
[/mm]
für $a > [mm] 0\,$ [/mm] betrachten!)
Gruß,
Marcel
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> Was leistet eigentlich bspw.
>
> [mm]\exp \colon (\IR,+) \to (\IR^{\*},\cdot)[/mm]?
>
> (Du kannst auch Funktionen wie
>
> [mm]u_a(x):\equiv a^x=\exp(x*\ln(a))[/mm]
>
> für [mm]a > 0\,[/mm] betrachten!)
was bringt mir, wenn ich die konkreten Beispiele betrachte? Kann ich daraus auf die Allgemeinheit schließen? weil das ist ja das Ziel, es für alle Gruppen zu zeigen.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > Was leistet eigentlich bspw.
> >
> > [mm]\exp \colon (\IR,+) \to (\IR^{\*},\cdot)[/mm]?
> >
> > (Du kannst auch Funktionen wie
> >
> > [mm]u_a(x):\equiv a^x=\exp(x*\ln(a))[/mm]
> >
> > für [mm]a > 0\,[/mm] betrachten!)
>
> was bringt mir, wenn ich die konkreten Beispiele betrachte?
bitte?
> Kann ich daraus auf die Allgemeinheit schließen?
> weil das ist ja das Ziel, es für alle Gruppen zu zeigen.
???
Ich sehe hier zwei spezielle Gruppen:
[mm] $(\IR,+)$ [/mm] und [mm] $(\IR^{\*},\cdot)\,.$
[/mm]
Du sollst zeigen, dass diese beiden Gruppen isomorph sind. Es ist also
etwa nachzuweisen:
Es existiert eine Abbildung
$h [mm] \colon \IR \to \IR^{\*}\,,$
[/mm]
die
1. ein Homomorphismus ist: [mm] $h(x+y)=h(x)*h(y)\,$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
2. bijektiv ist, d.h. für alle $y [mm] \in \IR^{\*}$ [/mm] existiert genau ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x)=y\,.$
[/mm]
(Du könntest auch zeigen, dass ein bijektiver Homomorphismus [mm] $\IR^{\*} \to \IR$
[/mm]
existiert, aber das folgt auch sofort, wenn man obiges bewiesen hat, weil...?)
Ich habe Dir vorgeschlagen:
Betrachte
[mm] $h=\exp$
[/mm]
oder aber wähle irgendein $a > [mm] 0\,$ [/mm] und betrachte
[mm] $h=h_a$ [/mm] definiert durch [mm] $h(x)=h_a(x):\equiv\exp(x*\ln(a))\,.$
[/mm]
(Du kannst das [mm] $a\,$ [/mm] dabei als Parameter belassen, oder aber Du kannst
es auch konkret festsetzen!)
Zu zeigen ist, wenn Du etwa [mm] $h:=\exp$ [/mm] setzt:
1. [mm] $\exp$ [/mm] ist ein Homomorphismus [mm] $\IR \to \IR^{\*}$
[/mm]
und auch
2. [mm] $\exp: \IR \to \IR^{\*}$ [/mm] ist bijektiv.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> >
> > > Was leistet eigentlich bspw.
> > >
> > > [mm]\exp \colon (\IR,+) \to (\IR^{\*},\cdot)[/mm]?
> > >
> > > (Du kannst auch Funktionen wie
> > >
> > > [mm]u_a(x):\equiv a^x=\exp(x*\ln(a))[/mm]
> > >
> > > für [mm]a > 0\,[/mm] betrachten!)
> >
> > was bringt mir, wenn ich die konkreten Beispiele
> betrachte?
>
> bitte?
>
> > Kann ich daraus auf die Allgemeinheit schließen?
>
> > weil das ist ja das Ziel, es für alle Gruppen zu zeigen.
>
> ???
>
> Ich sehe hier zwei spezielle Gruppen:
>
> [mm](\IR,+)[/mm] und [mm](\IR^{\*},\cdot)\,.[/mm]
>
> Du sollst zeigen, dass diese beiden Gruppen isomorph sind.
> Es ist also
> etwa nachzuweisen:
> Es existiert eine Abbildung
>
> [mm]h \colon \IR \to \IR^{\*}\,,[/mm]
>
> die
>
> 1. ein Homomorphismus ist: [mm]h(x+y)=h(x)*h(y)\,[/mm] für alle [mm]x,y \in \IR\,.[/mm]
>
> 2. bijektiv ist, d.h. für alle [mm]y \in \IR^{\*}[/mm] existiert
> genau ein [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]h(x)=y\,.[/mm]
>
> (Du könntest auch zeigen, dass ein bijektiver
> Homomorphismus [mm]\IR^{\*} \to \IR[/mm]
> existiert, aber das folgt
> auch sofort, wenn man obiges bewiesen hat, weil...?)
>
> Ich habe Dir vorgeschlagen:
> Betrachte
>
> [mm]h=\exp[/mm]
>
> oder aber wähle irgendein [mm]a > 0\,[/mm] und betrachte
>
> [mm]h=h_a[/mm] definiert durch [mm]h(x)=h_a(x):\equiv\exp(x*\ln(a))\,.[/mm]
>
> (Du kannst das [mm]a\,[/mm] dabei als Parameter belassen, oder aber
> Du kannst
> es auch konkret festsetzen!)
>
> Zu zeigen ist, wenn Du etwa [mm]h:=\exp[/mm] setzt:
>
> 1. [mm]\exp[/mm] ist ein Homomorphismus [mm]\IR \to \IR^{\*}[/mm]
>
> und auch
>
> 2. [mm]\exp: \IR \to \IR^{\*}[/mm] ist bijektiv.
Ok, bijektiv ist die Exponentialfunktion ja, weil sie eine Umkehrfunktion, den Logarithmus besitzt. Und um Homomorphie nachzuweisen, muss doch h(x+y)=h(x)+h(y) sein,wenn es sich um zwei additive Gruppen handelt und hier h(x+y)=h(x)*h(y), weil die zweite Gruppe die Multiplikation als Verknüpfung hat, stimmts?
Also kann ich generell, um zu zeigen, dass zwei Gruppen isomorph sind, mir eine Abbildung raussuchen, die von dem einen Definitionsbereich der ersten Gruppe in den anderen der Zweiten abbildet, und mit den Definitionen von Homomorphismus und Bijektion feststellen, ob es sich um einen Isomorphismus handelt?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich sehe hier zwei spezielle Gruppen:
> >
> > [mm](\IR,+)[/mm] und [mm](\IR^{\*},\cdot)\,.[/mm]
> >
> > Du sollst zeigen, dass diese beiden Gruppen isomorph sind.
> > Es ist also
> > etwa nachzuweisen:
> > Es existiert eine Abbildung
> >
> > [mm]h \colon \IR \to \IR^{\*}\,,[/mm]
> >
> > die
> >
> > 1. ein Homomorphismus ist: [mm]h(x+y)=h(x)*h(y)\,[/mm] für alle [mm]x,y \in \IR\,.[/mm]
>
> >
> > 2. bijektiv ist, d.h. für alle [mm]y \in \IR^{\*}[/mm] existiert
> > genau ein [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]h(x)=y\,.[/mm]
> >
> > (Du könntest auch zeigen, dass ein bijektiver
> > Homomorphismus [mm]\IR^{\*} \to \IR[/mm]
> > existiert, aber das
> folgt
> > auch sofort, wenn man obiges bewiesen hat, weil...?)
> >
> > Ich habe Dir vorgeschlagen:
> > Betrachte
> >
> > [mm]h=\exp[/mm]
> >
> > oder aber wähle irgendein [mm]a > 0\,[/mm] und betrachte
> >
> > [mm]h=h_a[/mm] definiert durch [mm]h(x)=h_a(x):\equiv\exp(x*\ln(a))\,.[/mm]
> >
> > (Du kannst das [mm]a\,[/mm] dabei als Parameter belassen, oder aber
> > Du kannst
> > es auch konkret festsetzen!)
> >
> > Zu zeigen ist, wenn Du etwa [mm]h:=\exp[/mm] setzt:
> >
> > 1. [mm]\exp[/mm] ist ein Homomorphismus [mm]\IR \to \IR^{\*}[/mm]
> >
> > und auch
> >
> > 2. [mm]\exp: \IR \to \IR^{\*}[/mm] ist bijektiv.
>
> Ok, bijektiv ist die Exponentialfunktion ja, weil sie eine
> Umkehrfunktion, den Logarithmus besitzt.
na, da drehst Du Dich jetzt etwas im Kreis - es sei denn, ihr habt den
Logarithmus nicht einfach als Umkehrfunktion der [mm] $\exp$-Funktion [/mm] definiert.
(Muss man auch nicht!)
Wenn man "elementar" bleibt: Mit dem Zwischenwertsatz kannst Du schnell
begründen, dass [mm] $\exp: \IR \to \red{ \IR^{\*}}$ [/mm] SURJEKTIV ist, und wenn Du
nachweist, dass [mm] $\exp$ [/mm] streng wächst, hast Du auch die Injektivität.
> Und um Homomorphie
> nachzuweisen, muss doch h(x+y)=h(x)+h(y) sein,wenn es sich
> um zwei additive Gruppen handelt und hier h(x+y)=h(x)*h(y),
> weil die zweite Gruppe die Multiplikation als Verknüpfung
> hat, stimmts?
Ja, so grob.
> Also kann ich generell, um zu zeigen, dass zwei Gruppen
> isomorph sind, mir eine Abbildung raussuchen, die von dem
> einen Definitionsbereich der ersten Gruppe in den anderen
> der Zweiten abbildet, und mit den Definitionen von
> Homomorphismus und Bijektion feststellen, ob es sich um
> einen Isomorphismus handelt?
Das ist doch die Definition davon, dass zwei Gruppen isomorph sind:
[mm] $(G_1, \circ)$ [/mm] und [mm] $(G_2,\*)$ [/mm] sind isomorph, wenn es einen Gruppenisomorphismus
[mm] $G_1 \to G_2$
[/mm]
gibt. Ein Gruppenisomorphismus ist:
Ein Gruppenhomomorphismus, der bijektiv ist.
(D.h., ein Gruppenisomorphismus ist ein injektiver Homomorphismus
(kurz: Monomorphismus) und auch ein surjektiver Homomorphismus (kurz:
Epimorphismus)).
Was ist die Idee dahinter?
Wenn ich zwei Elemente $a,b [mm] \in G_1$ [/mm] habe, dann gibt es (zwei eindeutig
bestimmte) Elemente $u,v [mm] \in G_2\,,$ [/mm] wobei [mm] $u\,$ [/mm] quasi eigentlich nur sowas wie
eine Umbenennung von [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $v\,$ [/mm] eine Umbenennung von [mm] $b\,$ [/mm] so ist,
dass es egal ist, wenn ich
$c:=a [mm] \circ [/mm] b$
mit den Elementen in [mm] $G_1$ [/mm] ausrechne oder ob ich
$w:=u [mm] \* [/mm] v$
in [mm] $G_2$ [/mm] berechne und dann gucke, welches Element aus [mm] $G_1$ [/mm] eigentlich in
[mm] $G_2$ [/mm] den Namen [mm] $w\,$ [/mm] trägt:
Es wird dann hier [mm] $c\,$ [/mm] das Element sein, dass in [mm] $G_2$ [/mm] den Namen [mm] $w\,$ [/mm] trägt.
Das ist jetzt ein wenig "lapidar" dahergesagt, nennen wir mal einen
Isomorphismus $t [mm] \colon G_1 \to G_2$ [/mm] "Labelfunktion":
Seien $a,b [mm] \in G_1\,.$ [/mm] Aus uns noch unerklärlichen Gründen nehmen wir einfach
mal an, dass $a [mm] \circ [/mm] b=:c [mm] \in G_1$ [/mm] "schwer berechenbar" wäre. Ebenso nehmen
wir an, dass uns das Rechnen in [mm] $G_2$ [/mm] "leichtfällt". Was machen wir nun?
Naja, wir schauen uns an, wie wir [mm] $a,b\,$ [/mm] in [mm] $G_2$ [/mm] finden. In [mm] $G_2$ [/mm] finden wir
[mm] $a\,$ [/mm] (eineindeutig) bestimmt wieder als
[mm] $u:=t(a)\,.$
[/mm]
Ebenso trägt [mm] $b\,$ [/mm] dort den Namen
[mm] $v:=t(b)\,.$
[/mm]
Jetzt rechnen wir
$u [mm] \* [/mm] v=:w$
aus:
$u [mm] \* [/mm] v=t(a) [mm] \* t(b)=w\,.$
[/mm]
Jetzt müssen wir wissen, wie $w [mm] \in G_2$ [/mm] denn in [mm] $G_1$ [/mm] heißt. Naja, das ist
klar:
[mm] $\tilde{c}:=t^{-1}(w)\,.$
[/mm]
So bringt uns das aber noch nichts, denn was ist
[mm] $t^{-1}(t(a) \* [/mm] t(b))$ (wir nehmen auch an, dass wir nicht wissen, dass [mm] $t^{-1}$ [/mm] überhaupt ein Homomorphismus
ist - denn das ist ja auch nicht trivial; d.h., man muss es sich überlegen...!)
Wenn wir nun an die Homomorphie-Eigenschaft von [mm] $t\,$ [/mm] denken:
$t(a) [mm] \* [/mm] t(b)=t(a [mm] \circ b)\,,$
[/mm]
dann sehen wir
[mm] $\tilde{c}=t^{-1}(t(a) \* t(b))=t^{-1}(t(a \circ [/mm] b))=a [mm] \circ b\,,$
[/mm]
also
$c:=a [mm] \circ b=\tilde{c}\,.$ [/mm]
Also haben wir, indem wir in [mm] $G_2$ [/mm] operiert haben, das Ergebnis von
$a [mm] \circ [/mm] b$
zweier Element aus [mm] $G_1$ [/mm] berechnet, indem wir quasi
die Elemente mit ihren Namen nach [mm] $G_2$ [/mm] geschickt haben,
entsprechend dann in [mm] $G_2$ [/mm] operiert haben,
und dann geguckt haben, welches Element aus [mm] $G_1$ [/mm] den Namen des
Ergebnisses der vorangegangenen Operationen trägt.
Übrigens kennst Du die Methodik eigentlich:
[mm] $(\IZ,+)$ [/mm] ist eine Gruppe. Nun ist [mm] $(\IR,+)$ [/mm] auch eine Gruppe, aber natürlich
wirst Du sagen, dass es sicherlich keinen Gruppenisomorphismus [mm] $\IZ \to \IR$
[/mm]
gibt. Es gibt aber einen Homomorphismus
[mm] $\ell \colon \IZ \to \IR\,,$
[/mm]
und dass man [mm] "$\IZ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] wiederfindet", hat dann eigentlich eher damit
zu tun, dass man [mm] $\ell(\IZ) \subseteq \IR$ [/mm] mit [mm] $\IZ$ [/mm] "identifiziert", denn
[mm] $\tilde{\ell} \colon \IZ \to \ell(\IZ)$ [/mm] mit [mm] $\tilde{\ell}(z):=\ell(z)$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IZ$
[/mm]
ist ein Isomorphismus. (Und
[mm] $(\ell(\IZ),\underbrace{+_{|\ell(\IZ) \times \ell(\IZ)}}_{\substack{\text{Einschränkung}\\ \text{der Addition}\\\text{von }\IR \text{ auf }\ell(\IZ)}})$ [/mm]
ist eine Untergruppe von [mm] $(\IR,+)\,.$)
[/mm]
Wie auch immer hierbei [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] definiert waren... (damit meine ich
das jeweilige theoretische Konstrukt: Ob [mm] $\IR$ [/mm] mittels Dedekindscher
Schnitte definiert war und [mm] $\IZ$ [/mm] als gewisser Quotientenraum/Faktorraum... )
Übrigens zur Erinnerung: Man spricht zwar etwa von "der Addition [mm] $+\,$ [/mm] auf
[mm] $\IR$" [/mm] - allerdings ist [mm] $+\,$ [/mm] eine Abbildung $+ [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR\,,$ [/mm] d.h. der
Definitionsbereich ist [mm] $\IR^2 \cong \IR \times \IR\,,$ [/mm] nicht [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Und dann definiert man die Notation
[mm] $a+b:=+(a,b):=+(\;(a,b)\;)$ [/mm] für alle $(a,b) [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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